Esboçar os gráficos das seguintes curvas paramétricas. Eliminando t nas equações, achar as equações na forma cartesiana: { x = e^(2 t), y = t^3 + 2 t }

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar os gráficos de curvas paramétricas e, primeiro, eliminar o parâmetro das equações para transformar tudo numa equação comum de em função de . As equações que temos são:
Vamos precisar usar logaritmos e manipulação algébrica para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar isolar o na equação de . Temos:
Para achar , vamos aplicar o logaritmo natural (ln) em ambos os lados:
Agora, dividimos ambos os lados por 2 para isolar o :

Passo 3

Agora que temos em termos de , vamos substituir essa expressão na equação de :
Substituindo :
Vamos simplificar cada termo:
e
Então, juntando tudo:

Resposta

A equação cartesiana da curva é:

Exercícios relacionados

Utilizando a transformada de Laplace e a transformada inversa de Laplace, encontre a solução do problema de valor inicial:
y'' - 5y' + 6y = U2(t), y(0) = 0, y'(0) = 2
Determine se as integrais abaixo são convergentes ou divergentes. Calcule o valor daquelas que são convergentes.
(e) integral2^infty x^5-5 x+2x^2-1 d x
Esboçar os gráficos das seguintes curvas paramétricas. Eliminando t nas equações, achar as equações na forma cartesiana: {x = 2 cotg(θ), y = 2 sen²(θ)}
Esboçar os gráficos das seguintes curvas paramétricas. Eliminando t nas equações, achar as equações na forma cartesiana: { x = raiz(t) \\ y = t, t ≥ 0 }