Utilizando a transformada de Laplace e a transformada inversa de Laplace, encontre a solução do problema de valor inicial:
y'' - 5y' + 6y = U2(t), y(0) = 0, y'(0) = 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de equações diferenciais usando a Transformada de Laplace. Esse tipo de problema ajuda a resolver equações que descrevem como algo muda ao longo do tempo. Para resolver, a gente vai precisar entender como aplicar a transformada e a sua inversa, além de usar as condições iniciais que foram dadas: e .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em toda a equação diferencial. Lembrando que a transformada de Laplace de é , e de é . A transformada de (função degrau unitário deslocada) é .

Passo 3

Aplicando a transformada na equação:
Simplificando os termos:

Passo 4

Vamos juntar os termos que envolvem :
Agora, isolamos :

Passo 5

Vamos decompor em fra�es parciais. Primeiro, factorizamos o denominador:
Então, podemos escrever:

Passo 6

Agora, vamos aplicar a Transformada Inversa de Laplace. Lembrando que a presença de indica um deslocamento no tempo, então usaremos o teorema de deslocamento. Para a segunda fração, podemos decompor em frações parciais:
Aplicando a transformada inversa:

Passo 7

O termo do deslocamento vem de . Usando a Transformada Inversa, isso resulta em uma função que começa em . Fazendo os cálculos, teremos:

Resposta

A solução do problema é:

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(b) Se f(x) é uma função decrescente em (a, infty), então integrala^infty f(x) d x é convergente?
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