Utilizando a transformada de Laplace e a transformada inversa de Laplace, encontre a solução do problema de valor inicial:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de equações diferenciais usando a Transformada de Laplace. Esse tipo de problema ajuda a resolver equações que descrevem como algo muda ao longo do tempo. Para resolver, a gente vai precisar entender como aplicar a transformada e a sua inversa, além de usar as condições iniciais que foram dadas: e .
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em toda a equação diferencial. Lembrando que a transformada de Laplace de é , e de é . A transformada de (função degrau unitário deslocada) é .
Passo 3
Aplicando a transformada na equação:
Simplificando os termos:
Passo 4
Vamos juntar os termos que envolvem :
Agora, isolamos :
Passo 5
Vamos decompor em fra�es parciais. Primeiro, factorizamos o denominador:
Então, podemos escrever:
Passo 6
Agora, vamos aplicar a Transformada Inversa de Laplace. Lembrando que a presença de indica um deslocamento no tempo, então usaremos o teorema de deslocamento. Para a segunda fração, podemos decompor em frações parciais:
Aplicando a transformada inversa:
Passo 7
O termo do deslocamento vem de . Usando a Transformada Inversa, isso resulta em uma função que começa em . Fazendo os cálculos, teremos: