Esboçar o hodógrafo das seguintes funções vetoriais: v(t) = 4i + t j + cos(t) k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o hodógrafo da função vetorial dada: . Aqui, o conteúdo principal é cinemática vetorial, especificamente o conceito de hodógrafo, que é o gráfico da velocidade vetorial em função do tempo. Para resolver, a gente vai precisar entender como cada componente da velocidade varia com o tempo e como isso se traduz em um gráfico tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada componente da função vetorial :
  • A componente é constante: .
  • A componente cresce linearmente com o tempo: .
  • A componente varia de forma oscilatória: .
Isso significa que, conforme o tempo aumenta, a velocidade na direção permanece sempre 4, na direção aumenta sem limites, e na direção oscila entre -1 e 1.

Passo 3

Agora, vamos entender como isso se reflete no hodógrafo. O hodógrafo é o caminho que o vetor de velocidade percorre no espaço tridimensional. Vamos parametrizar o hodógrafo usando como parâmetro:
Isso significa que, para cada valor de , temos um ponto no espaço .

Passo 4

Vamos visualizar isso: como é sempre 4, o hodógrafo estará sempre a uma distância fixa no eixo . Conforme aumenta, aumenta linearmente, então o hodógrafo se estende indefinidamente na direção positiva de . Já oscila entre -1 e 1, criando uma espécie de “ondulação” ao longo do eixo .

Passo 5

Portanto, o hodógrafo resultante será uma linha reta paralela ao eixo (porque é constante) com ondulações sinusoidais no eixo . Isso se parece com uma rampa infinita que sobe na direção , mas com movimentos de vai-e-vem no eixo devido ao .

Resposta

O hodógrafo da função vetorial é uma linha reta paralela ao eixo , localizada a , com oscilações sinusoidais no eixo . Visualmente, aparece como uma rampa infinita na direção com movimento de vai-e-vem no eixo .

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