Esboçar o hodógrafo das seguintes funções vetoriais:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício tá pedindo. A gente precisa esboçar o hodógrafo da função vetorial
. Basicamente, estamos falando de desenhar como a velocidade (ou outra grandeza vetorial) muda conforme o tempo. Pra isso, vamos precisar entender direitinho o que cada componente da função representa e como plotar isso no gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a função vetorial
. Aqui,
é a componente na direção do eixo x, que é constante, ou seja, sempre 2. Já
é a componente na direção do eixo y, que varia com o tempo graças ao
. Então, nossa função descreve um ponto que se move de acordo com essas duas componentes.
Passo 3
Agora, para esboçar o hodógrafo, que é o gráfico das componentes da função vetorial em relação a cada uma, vamos plotar a componente x contra a componente y. Como a componente x é sempre 2, não muda com o tempo, nosso gráfico terá sempre o valor x = 2. Já a componente y varia conforme
, o que significa que pode ir de negativo a positivo dependendo do valor de t.
Passo 4
Então, no gráfico do hodógrafo, a posição no eixo x vai ser sempre 2, e a posição no eixo y vai variar. Para vários valores de t:
- Se t = 0,
, que é o ponto (2, 0). - Se t = 1,
, que é o ponto (2, 1). - Se t = -1,
, que é o ponto (2, -1). - E assim por diante…
Isso mostra que todos os pontos do hodógrafo estão alinhados verticalmente no x = 2, com y variando conforme
.
Resposta
O hodógrafo da função vetorial
é uma linha vertical que passa pelo ponto x = 2 no plano xy, onde a componente y varia de acordo com
. Ou seja, é uma linha reta vertical no ponto (2, 0), estendendo-se para cima e para baixo conforme t aumenta ou diminui.