Esboçar o hodógrafo das seguintes funções vetoriais: h(t) = 2i + t^3 j

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício tá pedindo. A gente precisa esboçar o hodógrafo da função vetorial . Basicamente, estamos falando de desenhar como a velocidade (ou outra grandeza vetorial) muda conforme o tempo. Pra isso, vamos precisar entender direitinho o que cada componente da função representa e como plotar isso no gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a função vetorial . Aqui, é a componente na direção do eixo x, que é constante, ou seja, sempre 2. Já é a componente na direção do eixo y, que varia com o tempo graças ao . Então, nossa função descreve um ponto que se move de acordo com essas duas componentes.

Passo 3

Agora, para esboçar o hodógrafo, que é o gráfico das componentes da função vetorial em relação a cada uma, vamos plotar a componente x contra a componente y. Como a componente x é sempre 2, não muda com o tempo, nosso gráfico terá sempre o valor x = 2. Já a componente y varia conforme , o que significa que pode ir de negativo a positivo dependendo do valor de t.

Passo 4

Então, no gráfico do hodógrafo, a posição no eixo x vai ser sempre 2, e a posição no eixo y vai variar. Para vários valores de t:
  • Se t = 0, , que é o ponto (2, 0).
  • Se t = 1, , que é o ponto (2, 1).
  • Se t = -1, , que é o ponto (2, -1).
  • E assim por diante…
Isso mostra que todos os pontos do hodógrafo estão alinhados verticalmente no x = 2, com y variando conforme .

Resposta

O hodógrafo da função vetorial é uma linha vertical que passa pelo ponto x = 2 no plano xy, onde a componente y varia de acordo com . Ou seja, é uma linha reta vertical no ponto (2, 0), estendendo-se para cima e para baixo conforme t aumenta ou diminui.

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