Esboçar o hodógrafo das seguintes funções vetoriais:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício tá pedindo. A gente precisa esboçar o hodógrafo da função vetorial
. Basicamente, estamos falando de desenhar como a velocidade (ou outra grandeza vetorial) muda conforme o tempo. Pra isso, vamos precisar entender direitinho o que cada componente da função representa e como plotar isso no gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a função vetorial
. Aqui,
é a componente na direção do eixo x, que é constante, ou seja, sempre 2. Já
é a componente na direção do eixo y, que varia com o tempo graças ao
. Então, nossa função descreve um ponto que se move de acordo com essas duas componentes.
Passo 3
Agora, para esboçar o hodógrafo, que é o gráfico das componentes da função vetorial em relação a cada uma, vamos plotar a componente x contra a componente y. Como a componente x é sempre 2, não muda com o tempo, nosso gráfico terá sempre o valor x = 2. Já a componente y varia conforme
, o que significa que pode ir de negativo a positivo dependendo do valor de t.
Passo 4
Então, no gráfico do hodógrafo, a posição no eixo x vai ser sempre 2, e a posição no eixo y vai variar. Para vários valores de t:
- Se t = 0,
, que é o ponto (2, 0). - Se t = 1,
, que é o ponto (2, 1). - Se t = -1,
, que é o ponto (2, -1). - E assim por diante…
Isso mostra que todos os pontos do hodógrafo estão alinhados verticalmente no x = 2, com y variando conforme
.
Resposta
O hodógrafo da função vetorial
é uma linha vertical que passa pelo ponto x = 2 no plano xy, onde a componente y varia de acordo com
. Ou seja, é uma linha reta vertical no ponto (2, 0), estendendo-se para cima e para baixo conforme t aumenta ou diminui.
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</body></html>
<html><head></head><body><div>Determine o maior conjunto no qual a função é contínua.<br>
<span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -1.182ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“14.518ex” height=“3.139ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -864.9 6417 1387.2”><title>F(x, y) = 1 / (x^2 - y)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D439” d=“M48 1Q31 1 31 11Q31 13 34 25Q38 41 42 43T65 46Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q146 66 215 342T285 622Q285 629 281 629Q273 632 228 634H197Q191 640 191 642T193 659Q197 676 203 680H742Q749 676 749 669Q749 664 736 557T722 447Q720 440 702 440H690Q683 445 683 453Q683 454 686 477T689 530Q689 560 682 579T663 610T626 626T575 633T503 634H480Q398 633 393 631Q388 629 386 623Q385 622 352 492L320 363H375Q378 363 398 363T426 364T448 367T472 374T489 386Q502 398 511 419T524 457T529 475Q532 480 548 480H560Q567 475 567 470Q567 467 536 339T502 207Q500 200 482 200H470Q463 206 463 212Q463 215 468 234T473 274Q473 303 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