Esboçar o hodógrafo das seguintes funções vetoriais: f(t) = (4 - 4t) i + (4 - 4t) j, t in [0, 2]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar o hodógrafo de uma função vetorial específica: f(t) = (4 - 4t) i + (4 - 4t) j, t in [0, 2]. A matéria aqui envolve vetores e gráficos no plano. Para resolver isso, vamos entender o que é um hodógrafo e como usar a função vetorial dada para desenhá-lo.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre hodógrafo. O hodógrafo é o caminho que o vetor de velocidade percorre no espaço à medida que o tempo varia. Basicamente, é como se a ponta do vetor ficasse se movendo e a gente desenhasse esse movimento.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função vetorial . Aqui, i e vec(j) são os vetores unitários nas direções x e y, respectivamente. Isso significa que as componentes x e y da nossa função são iguais: .

Passo 4

Para esboçar o hodógrafo, precisamos ver como as componentes x e y mudam com o tempo t, que varia de 0 a 2. Vamos calcular alguns valores:
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 5

Com esses pontos, já dá para visualizar o que acontece com o vetor f(t) ao longo do tempo. No início ( t = 0), o vetor está em (4,4). Conforme t aumenta até 1, ele vai diminuindo até chegar a (0,0). Depois, de t = 1 a t = 2, ele continua diminuindo passando para os valores negativos, chegando em (-4,-4).

Passo 6

Assim, o hodógrafo será uma linha reta que vai do ponto (4,4) até (-4,-4). Isso porque, como as componentes x e y são iguais e mudam de forma linear com t, o caminho percorrido é uma linha diagonal no plano.

Resposta

O hodógrafo da função vetorial f(t) é uma linha reta que vai de (4, 4) até (-4, -4) no plano.

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