Esboçar o hodógrafo das seguintes funções vetoriais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar o hodógrafo de uma função vetorial específica:
. A matéria aqui envolve vetores e gráficos no plano. Para resolver isso, vamos entender o que é um hodógrafo e como usar a função vetorial dada para desenhá-lo.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre hodógrafo. O hodógrafo é o caminho que o vetor de velocidade percorre no espaço à medida que o tempo varia. Basicamente, é como se a ponta do vetor ficasse se movendo e a gente desenhasse esse movimento.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função vetorial
. Aqui,
e
são os vetores unitários nas direções x e y, respectivamente. Isso significa que as componentes x e y da nossa função são iguais:
.
Passo 4
Para esboçar o hodógrafo, precisamos ver como as componentes x e y mudam com o tempo t, que varia de 0 a 2. Vamos calcular alguns valores:
- Para
: - Para
: - Para
:
Passo 5
Com esses pontos, já dá para visualizar o que acontece com o vetor
ao longo do tempo. No início (
), o vetor está em (4,4). Conforme t aumenta até 1, ele vai diminuindo até chegar a (0,0). Depois, de
a
, ele continua diminuindo passando para os valores negativos, chegando em (-4,-4).
Passo 6
Assim, o hodógrafo será uma linha reta que vai do ponto (4,4) até (-4,-4). Isso porque, como as componentes x e y são iguais e mudam de forma linear com t, o caminho percorrido é uma linha diagonal no plano.
Resposta
O hodógrafo da função vetorial
é uma linha reta que vai de (4, 4) até (-4, -4) no plano.