Esboce os conjuntos de nível de cada função.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para esboçar os conjuntos de nível de uma função. A função dada é
. O conceito de conjuntos de nível está relacionado a encontrar todas as combinações de
e
que fazem a função assumir um valor constante. Pra resolver isso, vamos precisar entender como manipular a equação da função para diferentes valores constantes e visualizar como esses conjuntos se comportam no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um conjunto de nível. Para uma função de duas variáveis,
, um conjunto de nível é o conjunto de todos os pontos
que satisfazem
, onde
é uma constante. Isso significa que estamos procurando desenhar curvas no plano
que representem todos os pontos onde a função tem o mesmo valor
.
Passo 3
Vamos aplicar isso à nossa função:
. Queremos encontrar todas as soluções para
, onde
é uma constante. Vamos rearranjar essa equação para facilitar o desenho dos conjuntos de nível:
Então, para cada valor de
, temos uma função que relaciona
e
.
Passo 4
Agora, vamos pensar em como essa equação se comporta para diferentes valores de
:
-
Quando
: Isso é uma curva cúbica que passa pela origem e tem comportamento simétrico em relação ao eixo. -
Quando
: Isso desloca a curva para a esquerda no plano, já que subtraímos um valor positivo de . -
Quando
: Aqui, a curva se desloca para a direita, já que subtrair um valor negativo é equivalente a somar.
Passo 5
Para esboçar os conjuntos de nível, vamos considerar alguns valores específicos de
:
-
: A curva passa pela origem. -
: A curva será , deslocada para a esquerda. -
: A curva será , deslocada para a direita.
Cada uma dessas curvas terá a forma de uma cúbica, mas com diferentes posições no plano. Isso nos ajuda a visualizar como os conjuntos de nível variam conforme o valor de
.
Resposta
Os conjuntos de nível da função
são curvas cúbicas da forma
para diferentes valores de
. Essas curvas se deslocam para a esquerda quando
aumenta e para a direita quando
diminui, mantendo a forma característica de uma cúbica no plano
.
Exercícios relacionados
Utilize argumentos consistentes para calcular, se existir, o valor de
, em que
é uma função contínua dada por
Esboce os conjuntos de nível de cada função.
Determine se a função
é contínua na origem para algum valor de
. Justifique sua resposta com argumentos consistentes, explicitando o valor de
e uma relação entre
e
, se for o caso.
Esboce os conjuntos de nível de cada função.