Utilize argumentos consistentes para calcular, se existir, o valor de f(0, 0), em que f: R^2 -> R é uma função contínua dada por
f(x, y) = 1 + x y * (x^2 - y^2) / (x^2 + y^2) se (x, y) ≠ (0, 0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular o valor de para uma função contínua definida por
O conteúdo que vamos usar aqui envolve limites de funções de duas variáveis e o conceito de continuidade. Precisamos verificar o limite de quando se aproxima de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para a função ser contínua em , o limite de quando tende a deve existir e ser igual a . Então, vamos calcular:

Passo 3

Vamos separar o limite em duas partes:
Sabemos que o limite de 1 é apenas 1. Agora, vamos analisar a segunda parte:

Passo 4

Para facilitar, vamos usar coordenadas polares, onde e . Assim, tende a 0 quando tende a .
Substituindo na expressão:
Então, a expressão se torna:

Passo 5

Agora, observamos que temos um multiplicando funções trigonométricas que são limitadas (entre -1 e 1). Então, o limite dessa expressão quando é:

Passo 6

Voltando ao limite original:
Como a função é contínua em , isso significa que:

Resposta

O valor de é igual a 1.

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Esboce os conjuntos de nível de cada função. f(x, y) = y - 4 x^2
Esboce os conjuntos de nível de cada função. f(x, y) = y^3 - 2x
Determine se a função f(x, y)=llx^2+3 x^2 y+y^22 x^2+2 y^2, & se (x, y) neq(0,0) b, & se (x, y)=(0,0) é contínua na origem para algum valor de b in R. Justifique sua resposta com argumentos consistentes, explicitando o valor de b e uma relação entre varepsilon e de, se for o caso.