Utilize argumentos consistentes para calcular, se existir, o valor de
, em que
é uma função contínua dada por
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular o valor de
para uma função contínua
definida por
O conteúdo que vamos usar aqui envolve limites de funções de duas variáveis e o conceito de continuidade. Precisamos verificar o limite de
quando
se aproxima de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para a função ser contínua em
, o limite de
quando
tende a
deve existir e ser igual a
. Então, vamos calcular:
Passo 3
Vamos separar o limite em duas partes:
Sabemos que o limite de 1 é apenas 1. Agora, vamos analisar a segunda parte:
Passo 4
Para facilitar, vamos usar coordenadas polares, onde
e
. Assim,
tende a 0 quando
tende a
.
Substituindo na expressão:
Então, a expressão se torna:
Passo 5
Agora, observamos que temos um
multiplicando funções trigonométricas que são limitadas (entre -1 e 1). Então, o limite dessa expressão quando
é:
Passo 6
Voltando ao limite original:
Como a função é contínua em
, isso significa que:
Resposta
O valor de
é igual a 1.
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Esboce os conjuntos de nível de cada função.
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Determine se a função
é contínua na origem para algum valor de
. Justifique sua resposta com argumentos consistentes, explicitando o valor de
e uma relação entre
e
, se for o caso.