Esboce os conjuntos de nível de cada função.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa esboçar os conjuntos de nível da função
. Isso está relacionado ao estudo de funções de duas variáveis e conjuntos de nível, que são ferramentas legais para visualizar como a função se comporta no plano
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são conjuntos de nível e como encontrá-los para a função dada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um conjunto de nível. Para uma função de duas variáveis
, um conjunto de nível para um valor constante
é o conjunto de todos os pontos
que satisfazem a equação
. Basicamente, é onde a função assume o valor
.
Passo 3
Vamos aplicar isso à nossa função
. Queremos encontrar os conjuntos de nível para diferentes valores de
. Então, colocamos
:
Para resolver essa equação, vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados para “desfazer” o exponencial:
Agora, isolamos
:
Passo 4
Essa equação
nos mostra que, para cada valor de
, o conjunto de nível é uma curva cúbica deslocada verticalmente por
. Ou seja, todas essas curvas têm a forma de
, onde
é uma constante que depende de
.
Ao variar
, os conjuntos de nível se deslocam para cima ou para baixo no gráfico, dependendo do valor de
. Se
,
é positivo e a curva se move para cima. Se
,
é negativo e a curva se move para baixo.
Resposta
Os conjuntos de nível da função
são curvas cúbicas da forma
, onde cada valor de
gera uma curva deslocada verticalmente no plano
.
Exercícios relacionados
Esboce os conjuntos de nível de cada função.
Descreva e esboce o domínio de cada função.
Utilize argumentos consistentes para calcular, se existir, o valor de
, em que
é uma função contínua dada por
Esboce os conjuntos de nível de cada função.