Esboce os conjuntos de nível de cada função. f(x, y) = e^(y - x^3)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa esboçar os conjuntos de nível da função . Isso está relacionado ao estudo de funções de duas variáveis e conjuntos de nível, que são ferramentas legais para visualizar como a função se comporta no plano . Para resolver isso, vamos precisar entender o que são conjuntos de nível e como encontrá-los para a função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um conjunto de nível. Para uma função de duas variáveis , um conjunto de nível para um valor constante é o conjunto de todos os pontos que satisfazem a equação . Basicamente, é onde a função assume o valor .

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa função . Queremos encontrar os conjuntos de nível para diferentes valores de . Então, colocamos :
Para resolver essa equação, vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados para “desfazer” o exponencial:
Agora, isolamos :

Passo 4

Essa equação nos mostra que, para cada valor de , o conjunto de nível é uma curva cúbica deslocada verticalmente por . Ou seja, todas essas curvas têm a forma de , onde é uma constante que depende de .
Ao variar , os conjuntos de nível se deslocam para cima ou para baixo no gráfico, dependendo do valor de . Se , é positivo e a curva se move para cima. Se , é negativo e a curva se move para baixo.

Resposta

Os conjuntos de nível da função são curvas cúbicas da forma , onde cada valor de gera uma curva deslocada verticalmente no plano .

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