Esboce a curva no espaço gerada pela função vetorial r(t) = (t, t^2, t^3), para t no intervalo [-1, 1].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar (desenhar) a curva no espaço que é gerada pela função vetorial , onde t varia de -1 a 1. Isso envolve entender como cada componente da função muda conforme t varia nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função vetorial. Uma função vetorial como essa nos dá coordenadas no espaço tridimensional para cada valor de t. Ou seja, para cada t, a gente tem um ponto (x, y, z) onde , e .

Passo 3

Para esboçar a curva, vamos calcular alguns pontos chave substituindo valores de t no intervalo de -1 a 1. Vamos escolher valores como -1, -0,5, 0, 0,5 e 1.
  • Para :
    • Ponto:
  • Para :
    • Ponto:
  • Para :
    • x = 0
    • Ponto:
  • Para :
    • Ponto:
  • Para :
    • x = 1
    • Ponto:

Passo 4

Observando esses pontos, percebemos que quando t varia de -1 a 1:
  • À medida que t aumenta, x aumenta linearmente.
  • y sempre é positivo ou zero, já que é t ao quadrado.
  • z segue o sinal de t e aumenta mais rapidamente porque é t ao cubo.
Isso cria uma curva que começa em , passa pelo ponto central e vai até , formando uma espécie de “S” no espaço tridimensional.

Passo 5

Para esboçar a curva, você pode:
  1. Desenhar os eixos x, y e z.
  2. Marcar os pontos calculados.
  3. Conectar os pontos suavemente, lembrando que a curva tem simetria em relação ao ponto central (0, 0, 0).

Resposta

A curva gerada pela função vetorial no intervalo [-1, 1] forma uma espécie de “S” no espaço tridimensional, começando no ponto , passando pelo ponto central e terminando em . Para esboçá-la, plote esses pontos e conecte-os suavemente, seguindo o comportamento crescente das coordenadas conforme t varia.

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