Esboce a curva no espaço gerada pela função vetorial
, para
no intervalo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar (desenhar) a curva no espaço que é gerada pela função vetorial
, onde
varia de -1 a 1. Isso envolve entender como cada componente da função muda conforme
varia nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma função vetorial. Uma função vetorial como essa
nos dá coordenadas no espaço tridimensional para cada valor de
. Ou seja, para cada
, a gente tem um ponto
onde
,
e
.
Passo 3
Para esboçar a curva, vamos calcular alguns pontos chave substituindo valores de
no intervalo de -1 a 1. Vamos escolher valores como -1, -0,5, 0, 0,5 e 1.
-
Para
: -
-
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- Ponto:
-
-
Para
: -
-
-
- Ponto:
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Para
: -
-
-
- Ponto:
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Para
: -
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- Ponto:
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Para
: -
-
-
- Ponto:
-
Passo 4
Observando esses pontos, percebemos que quando
varia de -1 a 1:
- À medida que
aumenta, aumenta linearmente. -
sempre é positivo ou zero, já que é ao quadrado. -
segue o sinal de e aumenta mais rapidamente porque é ao cubo.
Isso cria uma curva que começa em
, passa pelo ponto central
e vai até
, formando uma espécie de “S” no espaço tridimensional.
Passo 5
Para esboçar a curva, você pode:
- Desenhar os eixos
, e . - Marcar os pontos calculados.
- Conectar os pontos suavemente, lembrando que a curva tem simetria em relação ao ponto central
.
Resposta
A curva gerada pela função vetorial
no intervalo
forma uma espécie de “S” no espaço tridimensional, começando no ponto
, passando pelo ponto central
e terminando em
. Para esboçá-la, plote esses pontos e conecte-os suavemente, seguindo o comportamento crescente das coordenadas conforme
varia.