Calcule as integrais indefinidas abaixo: integral(sen 2 x+cos 2 x) d x

Passo 1

Beleza, a gente precisa calcular a integral indefinida de sin 2x + cos 2x em relação a x. Isso faz parte da matéria de cálculo, mais especificamente das integrais de funções trigonométricas. Para resolver, vamos usar as regras de integração para seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes. Assim fica mais fácil de resolver cada termo separadamente:
integral (sin 2x + cos 2x) , dx = integral sin 2x , dx + integral cos 2x , dx

Passo 3

Agora, vamos integrar cada termo individualmente.
  • Integral de sin 2x:
Quando temos integral sin(kx) , dx, a integral é -1k cos(kx) + C. Aqui, k = 2, então:
integral sin 2x , dx = -12 cos 2x
  • Integral de cos 2x:
Da mesma forma, para integral cos(kx) , dx, a integral é 1k sin(kx) + C. Com k = 2:
integral cos 2x , dx = 12 sin 2x

Passo 4

Agora, juntamos as duas integrais que calculamos:
-12 cos 2x + 12 sin 2x + C
Podemos fatorar o 12 para deixar mais arrumado:
12 (sin 2x - cos 2x) + C

Resposta

A integral de sin 2x + cos 2x é:
12 (sin 2x - cos 2x) + C

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