Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para esboçar o gráfico de uma curva definida por uma equação vetorial e indicar com setas a direção em que o parâmetro cresce. Isso está ligado ao estudo de equações paramétricas e geometria vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender como transformar a equação vetorial em coordenadas que nos ajudem a desenhar a curva e depois determinar a direção do parâmetro.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma equação vetorial. Geralmente, ela é dada na forma:
Aqui, é o parâmetro que varia, e e são funções que definem as coordenadas e da curva para cada valor de .

Passo 3

Nosso próximo passo é identificar essas funções e na equação vetorial fornecida. Isso nos ajuda a entender como cada coordenada muda conforme varia. Por exemplo, se tivermos:
Isso descreve um círculo unitário, pois e .

Passo 4

Depois de identificar e , vamos criar uma tabela de valores escolhendo alguns valores de (como ) e calculando os correspondentes e . Isso nos dá pontos específicos que podemos plotar no gráfico.

Passo 5

Com os pontos plotados, conseguimos desenhar a forma geral da curva. No exemplo do círculo, os pontos vão formar um círculo perfeito. Mas para outras equações, a forma pode variar bastante!

Passo 6

Agora, para indicar a direção em que o parâmetro cresce, observamos como os pontos estão conectados conforme aumenta. Voltando ao exemplo do círculo, à medida que aumenta de a , o movimento é no sentido anti-horário. Então, colocamos setas ao longo da curva seguindo essa direção.

Resposta

Pronto! Seguindo esses passos, você consegue esboçar o gráfico da curva definida pela equação vetorial e indicar a direção do crescimento do parâmetro com setas no sentido apropriado.

Exercícios relacionados

x=t, y=1/(1+t^2), z=t^2
Faça uma correspondência entre as equaçōes paramétricas e os gráficos (identificados com números de I-VI). Justifique sua escolha.
$\mathbf{r}(t)=\langle 1+t, 3 t,-t\rangle$
$P(0,0,0), \quad Q(1,2,3)$