Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para esboçar o gráfico de uma curva definida por uma equação vetorial e indicar com setas a direção em que o parâmetro cresce. Isso está ligado ao estudo de equações paramétricas e geometria vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender como transformar a equação vetorial em coordenadas que nos ajudem a desenhar a curva e depois determinar a direção do parâmetro.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma equação vetorial. Geralmente, ela é dada na forma:
Aqui,
é o parâmetro que varia, e
e
são funções que definem as coordenadas
e
da curva para cada valor de
.
Passo 3
Nosso próximo passo é identificar essas funções
e
na equação vetorial fornecida. Isso nos ajuda a entender como cada coordenada muda conforme
varia. Por exemplo, se tivermos:
Isso descreve um círculo unitário, pois
e
.
Passo 4
Depois de identificar
e
, vamos criar uma tabela de valores escolhendo alguns valores de
(como
) e calculando os correspondentes
e
. Isso nos dá pontos específicos que podemos plotar no gráfico.
Passo 5
Com os pontos plotados, conseguimos desenhar a forma geral da curva. No exemplo do círculo, os pontos vão formar um círculo perfeito. Mas para outras equações, a forma pode variar bastante!
Passo 6
Agora, para indicar a direção em que o parâmetro
cresce, observamos como os pontos estão conectados conforme
aumenta. Voltando ao exemplo do círculo, à medida que
aumenta de
a
, o movimento é no sentido anti-horário. Então, colocamos setas ao longo da curva seguindo essa direção.
Resposta
Pronto! Seguindo esses passos, você consegue esboçar o gráfico da curva definida pela equação vetorial e indicar a direção do crescimento do parâmetro
com setas no sentido apropriado.
Exercícios relacionados
Faça uma correspondência entre as equaçōes paramétricas e os gráficos (identificados com números de I-VI). Justifique sua escolha.
$\mathbf{r}(t)=\langle 1+t, 3 t,-t\rangle$
$P(0,0,0), \quad Q(1,2,3)$