Esboce o gráfico da curva descrita por um ponto móvel
, quando o parâmetro
varia no intervalo dado. Além disso, determine a equação cartesiana da curva em cada um dos itens: a)
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar o gráfico da curva descrita por um ponto móvel
com as equações paramétricas
e , onde
varia de
a
. Isso envolve conhecimentos de trigonometria e geometria analítica. Vamos precisar entender como as funções cosseno e seno funcionam e como eliminar o parâmetro
para encontrar a equação cartesiana da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações paramétricas:
-
significa que o valor de é o dobro do cosseno de . - significa que o valor de
é o dobro do seno de .
Essas funções trigonométricas estão relacionadas ao círculo unitário, onde
representa a coordenada
e representa a coordenada
de um ponto em um círculo com raio 1. No nosso caso, como temos o dobro dessas funções, o raio será 2.
Passo 3
Agora, para encontrar a equação cartesiana da curva, precisamos eliminar o parâmetro
. Sabemos que para qualquer
,
Vamos usar isso para eliminar o
.
Passo 4
Vamos isolar
e nas equações paramétricas:
Agora, substituímos esses valores na identidade trigonométrica:
Passo 5
Simplificando a equação:
Multiplicando ambos os lados por 4 para eliminar os denominadores:
Essa é a equação cartesiana da curva.
Passo 6
Interpretando a equação
, sabemos que ela representa um círculo com centro na origem (0,0) e raio igual a
.
Resposta
A curva descrita pelas equações paramétricas é um círculo com centro na origem e raio 2, cuja equação cartesiana é
.
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