Esboce o gráfico da curva descrita por um ponto móvel , quando o parâmetro varia no intervalo dado. Além disso, determine a equação cartesiana da curva em cada um dos itens: a) ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar o gráfico da curva descrita por um ponto móvel com as equações paramétricas e , onde varia de a . Isso envolve conhecimentos de trigonometria e geometria analítica. Vamos precisar entender como as funções cosseno e seno funcionam e como eliminar o parâmetro para encontrar a equação cartesiana da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações paramétricas:
  • significa que o valor de é o dobro do cosseno de .
  • significa que o valor de é o dobro do seno de .
Essas funções trigonométricas estão relacionadas ao círculo unitário, onde representa a coordenada e representa a coordenada de um ponto em um círculo com raio 1. No nosso caso, como temos o dobro dessas funções, o raio será 2.

Passo 3

Agora, para encontrar a equação cartesiana da curva, precisamos eliminar o parâmetro . Sabemos que para qualquer ,
Vamos usar isso para eliminar o .

Passo 4

Vamos isolar e nas equações paramétricas:
Agora, substituímos esses valores na identidade trigonométrica:

Passo 5

Simplificando a equação:
Multiplicando ambos os lados por 4 para eliminar os denominadores:
Essa é a equação cartesiana da curva.

Passo 6

Interpretando a equação , sabemos que ela representa um círculo com centro na origem (0,0) e raio igual a .

Resposta

A curva descrita pelas equações paramétricas é um círculo com centro na origem e raio 2, cuja equação cartesiana é .

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