Determine a convergência ou divergência das seguintes séries:
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa determinar se a série infinita converge ou diverge. Para isso, vamos utilizar o conceito de série geométrica, que é um tipo específico de série matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar se a série é realmente uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma geral , onde:
é o primeiro termo da série.
é a razão, ou seja, o fator pelo qual multiplicamos para passar de um termo para o próximo.
No caso da nossa série, , podemos reescrever assim:
Aqui, fica claro que e .
Passo 3
Agora que identificamos e , vamos lembrar qual é a condição para uma série geométrica convergir. A regra é a seguinte:
Se o valor absoluto da razão , então a série converge.
Se, então a série diverge.
Passo 4
Aplicando essa regra à nossa série, temos:
Como , a condição para convergência está satisfeita.
Passo 5
Portanto, com base na regra das séries geométricas, concluímos que a série converge.