Determine a convergência ou divergência das seguintes séries:

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa determinar se a série infinita converge ou diverge. Para isso, vamos utilizar o conceito de série geométrica, que é um tipo específico de série matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se a série é realmente uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma geral , onde:
  • é o primeiro termo da série.
  • é a razão, ou seja, o fator pelo qual multiplicamos para passar de um termo para o próximo.
No caso da nossa série, , podemos reescrever assim:
Aqui, fica claro que e .

Passo 3

Agora que identificamos e , vamos lembrar qual é a condição para uma série geométrica convergir. A regra é a seguinte:
  • Se o valor absoluto da razão , então a série converge.
  • Se , então a série diverge.

Passo 4

Aplicando essa regra à nossa série, temos:
Como , a condição para convergência está satisfeita.

Passo 5

Portanto, com base na regra das séries geométricas, concluímos que a série converge.

Resposta

A série converge.

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