Esboce o gráfico, determine o domínio e a imagem de cada função.
© f(x) = 4 * e^(3 x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar o gráfico da função , além de determinar o domínio e a imagem dessa função. Esse tipo de função pertence ao estudo das funções exponenciais na matemática, então vamos precisar entender como elas se comportam para resolver o problema.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.
A função é uma função exponencial. A base (aproximadamente 2,718) elevada a qualquer potência real está sempre bem definida. Não há restrições sobre os valores de , ou seja, pode ser qualquer número real.
Domínio: (todos os números reais)

Passo 3

Agora, vamos determinar a imagem da função, que é o conjunto de todos os possíveis valores de .
Para a função exponencial , sabemos que ela sempre retorna valores positivos, já que a exponencial de qualquer número real é sempre maior que zero. Como estamos multiplicando por 4, isso não muda o fato de os valores permanecerem positivos, apenas os escala.
Imagem:

Passo 4

Vamos esboçar o gráfico da função .
  1. Forma Básica: A função exponencial cresce rapidamente à medida que aumenta e se aproxima de 0 quando se torna negativo.
  2. Coeficiente 3 no Expoente: Isso indica que a função cresce ainda mais rápido, pois a inclinação é maior.
  3. Multiplicação por 4: Isso eleva todos os valores da função multiplicando por 4, esticando o gráfico verticalmente.
Características do Gráfico:
  • Interseção com o eixo : Quando , .
  • Assíntota horizontal: (a função nunca toca o eixo , apenas se aproxima).

Resposta

  • Domínio: Todos os números reais, .
  • Imagem: Todos os números reais positivos, .
  • Gráfico: Uma curva exponencial crescente que passa pelo ponto , sobe rapidamente à medida que aumenta e se aproxima do eixo (língua ) à medida que diminui. A função nunca toca o eixo .

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Esboce o gráfico, determine o domínio e a imagem de cada função.
(b) f(x) = 4 * 0.5^x
Use as propriedades para provar que duas das três funções exponenciais são idênticas.
(iii) y3 = 9^(x + 2)
© Se a <> 1, qual é a imagem dessa função?
Calcule os logaritmos sem usar calculadora.
(b) log_6(1)