Esboce o gráfico, determine o domínio e a imagem de cada função.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar o gráfico da função
, além de determinar o domínio e a imagem dessa função. Esse tipo de função pertence ao estudo das funções exponenciais na matemática, então vamos precisar entender como elas se comportam para resolver o problema.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida.
A função
é uma função exponencial. A base
(aproximadamente 2,718) elevada a qualquer potência real está sempre bem definida. Não há restrições sobre os valores de
, ou seja,
pode ser qualquer número real.
Domínio:
(todos os números reais)
Passo 3
Agora, vamos determinar a imagem da função, que é o conjunto de todos os possíveis valores de
.
Para a função exponencial
, sabemos que ela sempre retorna valores positivos, já que a exponencial de qualquer número real é sempre maior que zero. Como estamos multiplicando por 4, isso não muda o fato de os valores permanecerem positivos, apenas os escala.
Imagem:
Passo 4
Vamos esboçar o gráfico da função
.
- Forma Básica: A função exponencial
cresce rapidamente à medida que aumenta e se aproxima de 0 quando se torna negativo. - Coeficiente 3 no Expoente: Isso indica que a função cresce ainda mais rápido, pois a inclinação é maior.
- Multiplicação por 4: Isso eleva todos os valores da função multiplicando por 4, esticando o gráfico verticalmente.
Características do Gráfico:
- Interseção com o eixo
: Quando , . - Assíntota horizontal:
(a função nunca toca o eixo , apenas se aproxima).
Resposta
- Domínio: Todos os números reais,
. - Imagem: Todos os números reais positivos,
. - Gráfico: Uma curva exponencial crescente que passa pelo ponto
, sobe rapidamente à medida que aumenta e se aproxima do eixo (língua ) à medida que diminui. A função nunca toca o eixo .
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(b)
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Use as propriedades para provar que duas das três funções exponenciais são idênticas.
(iii)
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© Se
, qual é a imagem dessa função?
Calcule os logaritmos sem usar calculadora.
(b)
(b)