Esboce o gráfico de f(x) = 4 x / (x^2 - 9) considerando:
(f) Intervalos de concavidades

Passo 1

Então, a gente vai esboçar o gráfico da função focando nos intervalos de concavidade. Isso faz parte do estudo de cálculo diferencial, onde a gente analisa como a curva se comporta em relação à sua curvatura.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a segunda derivada da função, pois ela nos ajuda a determinar a concavidade. Mas vamos começar achando a primeira derivada.
A primeira derivada de é:
Usamos a regra do quociente:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada , que nos ajudará a determinar a concavidade.
Derivando :
Usamos novamente a regra do quociente:
Simplificando os termos:
Fatorando:
Simplificando dentro do parênteses:
Então:

Passo 4

Vamos analisar o sinal de para determinar onde a função é côncava para cima ou para baixo.
  • O numerador é sempre positivo quando e sempre negativo quando (já que para todo ).
  • O denominador :
    • É positivo quando , ou seja, .
    • É negativo quando , ou seja, .

Passo 5

Combinando os sinais do numerador e denominador:
  • Para :
    • Numerador: Negativo
    • Denominador: Positivo
    • negativo → Côncava para baixo
  • Para :
    • Numerador: Negativo
    • Denominador: Negativo
    • positivo → Côncava para cima
  • Para :
    • Numerador: Positivo
    • Denominador: Negativo
    • negativo → Côncava para baixo
  • Para :
    • Numerador: Positivo
    • Denominador: Positivo
    • positivo → Côncava para cima

Resposta

Os intervalos de concavidade da função são:
  • Côncava para baixo: e
  • Côncava para cima: e

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