Esboce o gráfico de
considerando:
(f) Intervalos de concavidades
(f) Intervalos de concavidades
Passo 1
Então, a gente vai esboçar o gráfico da função
focando nos intervalos de concavidade. Isso faz parte do estudo de cálculo diferencial, onde a gente analisa como a curva se comporta em relação à sua curvatura.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a segunda derivada da função, pois ela nos ajuda a determinar a concavidade. Mas vamos começar achando a primeira derivada.
A primeira derivada de
é:
Usamos a regra do quociente:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a segunda derivada
, que nos ajudará a determinar a concavidade.
Derivando
:
Usamos novamente a regra do quociente:
Simplificando os termos:
Fatorando:
Simplificando dentro do parênteses:
Então:
Passo 4
Vamos analisar o sinal de
para determinar onde a função é côncava para cima ou para baixo.
- O numerador
é sempre positivo quando e sempre negativo quando (já que para todo ). - O denominador
: - É positivo quando
, ou seja, . - É negativo quando
, ou seja, .
- É positivo quando
Passo 5
Combinando os sinais do numerador e denominador:
-
Para
: - Numerador: Negativo
- Denominador: Positivo
-
negativo → Côncava para baixo
-
Para
: - Numerador: Negativo
- Denominador: Negativo
-
positivo → Côncava para cima
-
Para
: - Numerador: Positivo
- Denominador: Negativo
-
negativo → Côncava para baixo
-
Para
: - Numerador: Positivo
- Denominador: Positivo
-
positivo → Côncava para cima
Resposta
Os intervalos de concavidade da função
são:
- Côncava para baixo:
e - Côncava para cima:
e