Mostre que se f(x) é derivável no ponto a pertencente ao domínio de f, então ela é contínua em a.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa mostrar que se uma função é derivável em um ponto , então ela também é contínua nesse mesmo ponto. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de derivada e continuidade, além de como eles se relacionam.

Passo 2

Vamos começar lembrando o que significa uma função ser derivável em . Dizemos que é derivável em se o limite
existe. Isso quer dizer que a tangente à curva de em é bem definida.

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é continuidade em . A função é contínua em se:
Ou seja, o limite de quando se aproxima de é igual ao valor da função em .

Passo 4

Para mostrar que é contínua em , vamos manipular a definição da derivada. Sabemos que:
Multiplicando ambos os lados por , temos:
E, reescrevendo:

Passo 5

Agora, vamos analisar o limite de quando se aproxima de :
Como é uma constante e , temos:

Passo 6

Portanto, vimos que:
Isso significa exatamente que é contínua em .

Resposta

Assim, mostramos que se é derivável em , então ela é contínua em .

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