Esboce o gráfico da função real , dada por

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função definida por partes, ou seja, ela tem uma expressão diferente dependendo do valor de . Nesse caso, a função tem duas partes:
  • Para , a função é .
  • Para , a função é .
Vamos precisar conhecer como desenhar gráficos de funções quadráticas e lineares e entender como elas se comportam em diferentes intervalos.

Passo 2

Vamos começar analisando a primeira parte da função: para .
Primeiro, expandimos a expressão para facilitar o desenho:
Essa é uma função quadrática, cuja forma de gráfico é uma parábola. O coeficiente de é positivo, então a parábola abre para cima.
Vamos encontrar alguns pontos para desenhar a parábola:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Esses pontos nos ajudarão a desenhar a parábola no intervalo .

Passo 3

Agora, vamos analisar a segunda parte da função: para .
Essa é uma função linear, que representa uma reta com inclinação 1 e intercepto em . Já sabemos que a reta passa pelo ponto .
Vamos encontrar alguns pontos para desenhar a reta:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Esses pontos nos ajudarão a desenhar a reta no intervalo .

Passo 4

Agora, precisamos verificar o comportamento da função no ponto de transição .
Calculamos para ambas as partes:
  • Para :
  • Para :
Vemos que há uma descontinuidade em , pois os valores das duas partes são diferentes ( e ). Isso significa que o gráfico terá um “salto” nesse ponto.

Passo 5

Com todas as informações coletadas, vamos juntar os gráficos das duas partes:
  • Para , desenhamos a parábola usando os pontos calculados.
  • Para , desenhamos a reta usando os pontos calculados.
  • Em , marcamos os dois valores de e indicamos que há uma descontinuidade: a parábola termina em e a reta começa em .

Resposta

O gráfico da função consiste em uma parábola que abre para cima no intervalo e uma reta crescente no intervalo . Há uma descontinuidade no ponto , onde a parábola atinge o valor e a reta começa no valor . Assim, ao esboçar, teremos a parábola à esquerda de e a reta à direita, com um salto no ponto de transição.

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