Esboce o gráfico da função real
, dada por
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função definida por partes, ou seja, ela tem uma expressão diferente dependendo do valor de
. Nesse caso, a função
tem duas partes:
- Para
, a função é . - Para
, a função é .
Vamos precisar conhecer como desenhar gráficos de funções quadráticas e lineares e entender como elas se comportam em diferentes intervalos.
Passo 2
Vamos começar analisando a primeira parte da função:
para
.
Primeiro, expandimos a expressão para facilitar o desenho:
Essa é uma função quadrática, cuja forma de gráfico é uma parábola. O coeficiente de
é positivo, então a parábola abre para cima.
Vamos encontrar alguns pontos para desenhar a parábola:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Esses pontos nos ajudarão a desenhar a parábola no intervalo
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a segunda parte da função:
para
.
Essa é uma função linear, que representa uma reta com inclinação 1 e intercepto em
. Já sabemos que a reta passa pelo ponto
.
Vamos encontrar alguns pontos para desenhar a reta:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Esses pontos nos ajudarão a desenhar a reta no intervalo
.
Passo 4
Agora, precisamos verificar o comportamento da função no ponto de transição
.
Calculamos
para ambas as partes:
- Para
:
- Para
:
Vemos que há uma descontinuidade em
, pois os valores das duas partes são diferentes (
e
). Isso significa que o gráfico terá um “salto” nesse ponto.
Passo 5
Com todas as informações coletadas, vamos juntar os gráficos das duas partes:
- Para
, desenhamos a parábola usando os pontos calculados. - Para
, desenhamos a reta usando os pontos calculados. - Em
, marcamos os dois valores de e indicamos que há uma descontinuidade: a parábola termina em e a reta começa em .
Resposta
O gráfico da função
consiste em uma parábola que abre para cima no intervalo
e uma reta crescente no intervalo
. Há uma descontinuidade no ponto
, onde a parábola atinge o valor
e a reta começa no valor
. Assim, ao esboçar, teremos a parábola à esquerda de
e a reta à direita, com um salto no ponto de transição.
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é crescente? Justifique.