Esboce um gráfico de uma função que satisfaça cada uma das seguintes condições
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos esboçar o gráfico de uma função
que atende a algumas condições específicas sobre os limites e valores da função em certos pontos. O conteúdo aqui envolve conceitos de limites e continuidade de funções. Para resolver, vamos analisar cada condição dada e ver como elas influenciam o gráfico da função.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para as condições relacionadas a
:
-
: Isso significa que quando se aproxima de 3 pela esquerda, os valores de se aproximam de 0. -
: Aqui, quando se aproxima de 3 pela direita, os valores de se aproximam de 4. -
: A função não está definida em , ou seja, não há um ponto no gráfico naquele valor de .
Essas três condições indicam que há uma descontinuidade do tipo salto em
, pois os limites pela esquerda e pela direita são diferentes, e a função não está definida nesse ponto.
Passo 3
Agora, vamos analisar as condições em
:
-
: O limite da função quando se aproxima de -1 é -3. -
: A função está definida em e vale 2 nesse ponto.
Aqui, o limite existe e é diferente do valor da função no ponto. Isso caracteriza uma descontinuidade removível, onde podemos imaginar que a função poderia ser contínua se
fosse igual ao limite, mas não é o caso.
Passo 4
Com base nessas análises, para esboçar o gráfico:
- Para
, desenharemos duas linhas: uma se aproximando de 0 pela esquerda e outra se aproximando de 4 pela direita. Não colocaremos um ponto em , já que não existe. - Para
, traçaremos a linha da função se aproximando de -3 quando se aproxima de -1, mas colocaremos um ponto aberto em no valor -3 e um ponto fechado em no valor 2, indicando que a função está definida lá com esse valor diferente. - Para os demais valores de
, a função pode ser contínua. Podemos desenhar linhas suaves que conectem esses comportamentos nos pontos especificados.
Resposta
O gráfico da função
apresenta uma descontinuidade do tipo salto em
, com o limite pela esquerda igual a 0 e pela direita igual a 4, sem ponto definido em
. Em
, há uma descontinuidade removível, com o limite igual a -3, mas a função está definida e vale 2 nesse ponto. As demais partes da função são contínuas, conectando esses pontos conforme descrito.
Exercícios relacionados
Abaixo está o gráfico de
. Para cada um dos pontos dados determine o valor de
,
e
. Se alguma das quantidades não existir, explique claramente o porquê.
(a)
(b)
©
(d)
(a)
(b)
©
(d)
Usando seus conhecimentos de funções trigonométricas mostre as identidades a seguir:
.
Calcule o limite, se existir
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)
(o)
§
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)
(o)
§
Encontre o limite ou demonstre que não existe.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)
(o)
§
(q) .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)
(o)
§
(q)