Esboce um gráfico de uma função que satisfaça cada uma das seguintes condições
ã

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos esboçar o gráfico de uma função que atende a algumas condições específicas sobre os limites e valores da função em certos pontos. O conteúdo aqui envolve conceitos de limites e continuidade de funções. Para resolver, vamos analisar cada condição dada e ver como elas influenciam o gráfico da função.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para as condições relacionadas a :
  1. : Isso significa que quando se aproxima de 3 pela esquerda, os valores de se aproximam de 0.
  2. : Aqui, quando se aproxima de 3 pela direita, os valores de se aproximam de 4.
  3. ã: A função não está definida em , ou seja, não há um ponto no gráfico naquele valor de .
Essas três condições indicam que há uma descontinuidade do tipo salto em , pois os limites pela esquerda e pela direita são diferentes, e a função não está definida nesse ponto.

Passo 3

Agora, vamos analisar as condições em :
  1. : O limite da função quando se aproxima de -1 é -3.
  2. : A função está definida em e vale 2 nesse ponto.
Aqui, o limite existe e é diferente do valor da função no ponto. Isso caracteriza uma descontinuidade removível, onde podemos imaginar que a função poderia ser contínua se fosse igual ao limite, mas não é o caso.

Passo 4

Com base nessas análises, para esboçar o gráfico:
  • Para , desenharemos duas linhas: uma se aproximando de 0 pela esquerda e outra se aproximando de 4 pela direita. Não colocaremos um ponto em , já que não existe.
  • Para , traçaremos a linha da função se aproximando de -3 quando se aproxima de -1, mas colocaremos um ponto aberto em no valor -3 e um ponto fechado em no valor 2, indicando que a função está definida lá com esse valor diferente.
  • Para os demais valores de , a função pode ser contínua. Podemos desenhar linhas suaves que conectem esses comportamentos nos pontos especificados.

Resposta

O gráfico da função apresenta uma descontinuidade do tipo salto em , com o limite pela esquerda igual a 0 e pela direita igual a 4, sem ponto definido em . Em , há uma descontinuidade removível, com o limite igual a -3, mas a função está definida e vale 2 nesse ponto. As demais partes da função são contínuas, conectando esses pontos conforme descrito.

Exercícios relacionados

Abaixo está o gráfico de . Para cada um dos pontos dados determine o valor de , e . Se alguma das quantidades não existir, explique claramente o porquê.
(a)
(b)
©
(d)
Usando seus conhecimentos de funções trigonométricas mostre as identidades a seguir:
.
Calcule o limite, se existir
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)
(o)
§
Encontre o limite ou demonstre que não existe.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)
(o)
§
(q) .