Usando seus conhecimentos de funções trigonométricas mostre as identidades a seguir:
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão pede. A gente precisa mostrar que a função cosseno de
pode ser expressa como
. Para resolver isso, vamos usar algumas identidades trigonométricas, especialmente aquelas envolvendo funções de ângulos duplos e a relação entre seno, cosseno e tangente.
Passo 2
Vamos começar lembrando da identidade que relaciona o cosseno de
com a tangente de
. Sabemos que:
Essa identidade é derivada das fórmulas de ângulo duplo para o cosseno. Mas se você nunca viu isso antes, não se preocupe, vamos derivar passo a passo.
Passo 3
Primeiro, vamos lembrar que
pode ser expressa em termos de seno e cosseno:
Isso nos ajuda a relacionar as funções trigonométricas de ângulos menores com o ângulo original
.
Passo 4
Agora, vamos elevar ambos os lados da equação ao quadrado:
Isso simplifica a expressão e facilita a substituição na identidade que queremos provar.
Passo 5
Vamos lembrar da identidade fundamental da trigonometria:
Podemos usar isso para expressar
em termos de
:
Passo 6
Substituindo essa expressão na equação da tangente ao quadrado:
Isso nos dá uma relação direta entre
e
.
Passo 7
Agora, vamos reorganizar para expressar
em termos de
. Sabemos que:
Substituindo
a partir da equação anterior:
Passo 8
Simplificando a expressão:
E aí está, mostramos que
realmente é igual a
.