Usando seus conhecimentos de funções trigonométricas mostre as identidades a seguir:
.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão pede. A gente precisa mostrar que a função cosseno de pode ser expressa como . Para resolver isso, vamos usar algumas identidades trigonométricas, especialmente aquelas envolvendo funções de ângulos duplos e a relação entre seno, cosseno e tangente.

Passo 2

Vamos começar lembrando da identidade que relaciona o cosseno de com a tangente de . Sabemos que:
Essa identidade é derivada das fórmulas de ângulo duplo para o cosseno. Mas se você nunca viu isso antes, não se preocupe, vamos derivar passo a passo.

Passo 3

Primeiro, vamos lembrar que pode ser expressa em termos de seno e cosseno:
Isso nos ajuda a relacionar as funções trigonométricas de ângulos menores com o ângulo original .

Passo 4

Agora, vamos elevar ambos os lados da equação ao quadrado:
Isso simplifica a expressão e facilita a substituição na identidade que queremos provar.

Passo 5

Vamos lembrar da identidade fundamental da trigonometria:
Podemos usar isso para expressar em termos de :

Passo 6

Substituindo essa expressão na equação da tangente ao quadrado:
Isso nos dá uma relação direta entre e .

Passo 7

Agora, vamos reorganizar para expressar em termos de . Sabemos que:
Substituindo a partir da equação anterior:

Passo 8

Simplificando a expressão:
E aí está, mostramos que realmente é igual a .

Resposta

Exercícios relacionados

Sabendo que para quaisquer valem , e ; mostre as identidades a seguir:
.
Esboce os gráficos das funções:
dada por .
Abaixo está o gráfico de . Para cada um dos pontos dados determine o valor de , e . Se alguma das quantidades não existir, explique claramente o porquê.
(a)
(b)
©
(d)
Esboce um gráfico de uma função que satisfaça cada uma das seguintes condições
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