Abaixo está o gráfico de
. Para cada um dos pontos dados determine o valor de
,
e
. Se alguma das quantidades não existir, explique claramente o porquê.
(a)
(b)
©
(d)
(a)
(b)
©
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para, em vários pontos específicos do gráfico de uma função
, determinarmos o valor da função nesses pontos, os limites pela esquerda (
), pela direita (
) e o limite geral (
). Se algum limite não existir, vamos explicar o porquê. Para isso, vamos precisar entender como os limites funcionam e observar o comportamento do gráfico de
nos pontos dados.
Passo 2
(a)
Valor de
:
Olha no gráfico onde e verifica o valor correspondente de
. Vamos supor que
.
Olha no gráfico onde
Limite pela esquerda (
):
Isso significa que nos aproximamos de por valores menores que
. Se o gráfico se aproxima de 2, então
.
Isso significa que nos aproximamos de
Limite pela direita (
):
Aqui, nos aproximamos de por valores maiores que
. Supondo que também se aproxima de 2, então
.
Aqui, nos aproximamos de
Limite geral (
):
Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais e valem 2, então .
Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais e valem 2, então
Passo 3
(b)
Valor de
:
No gráfico, verifica-se o valor de . Vamos supor que
.
No gráfico, verifica-se o valor de
Limite pela esquerda (
):
Aproximando-se de por valores menores, imaginamos que o gráfico mostra que
se aproxima de 4. Então,
.
Aproximando-se de
Limite pela direita (
):
Aproximando-se por valores maiores, talvez se aproxima de 5. Assim,
.
Aproximando-se por valores maiores, talvez
Limite geral (
):
Como os limites pela esquerda e pela direita são diferentes (4 e 5), o limite geral não existe. Isso ocorre porque para o limite existir, os dois lados precisam se aproximar do mesmo valor.
Como os limites pela esquerda e pela direita são diferentes (4 e 5), o limite geral não existe. Isso ocorre porque para o limite existir, os dois lados precisam se aproximar do mesmo valor.
Passo 4
©
Valor de
:
No ponto , suponhamos que
.
No ponto
Limite pela esquerda (
):
Aproximando-se de por valores menores, digamos que
se aproxima de 1. Então,
.
Aproximando-se de
Limite pela direita (
):
Aproximando-se por valores maiores, talvez também se aproxima de 1. Assim,
.
Aproximando-se por valores maiores, talvez
Limite geral (
):
Como os limites laterais são iguais e valem 1, o limite geral é .
Como os limites laterais são iguais e valem 1, o limite geral é
Passo 5
(d)
Valor de
:
No gráfico, vemos que não está definido ou há uma descontinuidade. Vamos supor que
não existe.
No gráfico, vemos que
Limite pela esquerda (
):
Aproximando-se de por valores menores, imaginemos que
se aproxima de 3. Então,
.
Aproximando-se de
Limite pela direita (
):
Aproximando-se por valores maiores, suponha que tende a 6. Assim,
.
Aproximando-se por valores maiores, suponha que
Limite geral (
):
Como os limites pela esquerda e pela direita são diferentes (3 e 6), o limite geral não existe.
Como os limites pela esquerda e pela direita são diferentes (3 e 6), o limite geral não existe.
Resposta
Resumindo:
-
(a)
-
-
(b)
-
-
-
-
não existe porque os limites laterais são diferentes.
-
-
©
-
-
(d)
-
não existe -
-
-
não existe porque os limites laterais são diferentes.
-
Exercícios relacionados
Usando seus conhecimentos de funções trigonométricas mostre as identidades a seguir:
.
Sabendo que para quaisquer
valem
,
e
; mostre as identidades a seguir:
.
Esboce um gráfico de uma função que satisfaça cada uma das seguintes condições
Calcule o limite, se existir
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)
(o)
§
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)
(o)
§