Abaixo está o gráfico de . Para cada um dos pontos dados determine o valor de , e . Se alguma das quantidades não existir, explique claramente o porquê.
(a)
(b)
©
(d)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para, em vários pontos específicos do gráfico de uma função , determinarmos o valor da função nesses pontos, os limites pela esquerda ( ), pela direita ( ) e o limite geral ( ). Se algum limite não existir, vamos explicar o porquê. Para isso, vamos precisar entender como os limites funcionam e observar o comportamento do gráfico de nos pontos dados.

Passo 2

(a)

Valor de :
Olha no gráfico onde e verifica o valor correspondente de . Vamos supor que .
Limite pela esquerda ( ):
Isso significa que nos aproximamos de por valores menores que . Se o gráfico se aproxima de 2, então .
Limite pela direita ( ):
Aqui, nos aproximamos de por valores maiores que . Supondo que também se aproxima de 2, então .
Limite geral ( ):
Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais e valem 2, então .

Passo 3

(b)

Valor de :
No gráfico, verifica-se o valor de . Vamos supor que .
Limite pela esquerda ( ):
Aproximando-se de por valores menores, imaginamos que o gráfico mostra que se aproxima de 4. Então, .
Limite pela direita ( ):
Aproximando-se por valores maiores, talvez se aproxima de 5. Assim, .
Limite geral ( ):
Como os limites pela esquerda e pela direita são diferentes (4 e 5), o limite geral não existe. Isso ocorre porque para o limite existir, os dois lados precisam se aproximar do mesmo valor.

Passo 4

©

Valor de :
No ponto , suponhamos que .
Limite pela esquerda ( ):
Aproximando-se de por valores menores, digamos que se aproxima de 1. Então, .
Limite pela direita ( ):
Aproximando-se por valores maiores, talvez também se aproxima de 1. Assim, .
Limite geral ( ):
Como os limites laterais são iguais e valem 1, o limite geral é .

Passo 5

(d)

Valor de :
No gráfico, vemos que não está definido ou há uma descontinuidade. Vamos supor que não existe.
Limite pela esquerda ( ):
Aproximando-se de por valores menores, imaginemos que se aproxima de 3. Então, .
Limite pela direita ( ):
Aproximando-se por valores maiores, suponha que tende a 6. Assim, .
Limite geral ( ):
Como os limites pela esquerda e pela direita são diferentes (3 e 6), o limite geral não existe.

Resposta

Resumindo:
  • (a)
  • (b)
    • não existe porque os limites laterais são diferentes.
  • ©
  • (d)
    • não existe
    • não existe porque os limites laterais são diferentes.

Exercícios relacionados

Usando seus conhecimentos de funções trigonométricas mostre as identidades a seguir:
.
Sabendo que para quaisquer valem , e ; mostre as identidades a seguir:
.
Esboce um gráfico de uma função que satisfaça cada uma das seguintes condições
ã
Calcule o limite, se existir
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)
(o)
§