Esboce o gráfico de uma função que satisfaça a todas as condições dadas.
e
para todo
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você pediu para esboçar o gráfico de uma função que tem a primeira derivada
sempre menor que zero e a segunda derivada
também sempre menor que zero. Isso significa que estamos trabalhando com cálculo, especificamente com derivadas de uma função. Precisamos entender o que cada uma dessas condições implica para o comportamento da função e, assim, conseguir desenhar o gráfico certinho.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. A primeira derivada de uma função nos diz a inclinação da reta tangente a qualquer ponto do gráfico. Se
é sempre menor que zero, isso quer dizer que a função está sempre decrescendo. Ou seja, conforme x aumenta, o valor de f(x) vai sempre diminuindo.
Passo 3
Agora, vamos para a segunda condição:
. A segunda derivada nos informa sobre a concavidade do gráfico da função. Se
é sempre menor que zero, a função é concava para baixo em todo o seu domínio. Isso significa que o gráfico tem uma forma “sorridente”, como se fosse uma parábola virada para baixo.
Passo 4
Combinando as duas informações: a função está sempre descendo e sempre é concava para baixo. Isso implica que o gráfico vai se aproximando cada vez mais do eixo x, mas sempre com uma curva voltada para baixo. Não haverá pontos de máximo ou mínimo locais, já que a função não para de decrescer e mantém a mesma concavidade.
Passo 5
Para esboçar, imagine uma curta linha descendente que está ligeiramente curvada para baixo. Um exemplo clássico dessa situação é a função exponencial decrescente, como
. Aqui,
e
, satisfazendo todas as condições. O gráfico dessa função desce continuamente e a curvatura está sempre voltada para baixo.
Resposta
O gráfico esboçado representa uma função sempre decrescente e concava para baixo, como a função
, atendendo às condições
e
para todo
.
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É mo segui
$\frac{a}{d}$
(a) Est
(b)
© É F
Esboce o gráfico de uma função que satisfaça a todas as condições dadas.
e
para todo
É mo segui