Esboce o gráfico da função e use-o para determinar os valores de para os quais existe:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar o gráfico dessa função que muda de expressão em diferentes intervalos de e, com base nisso, descobrir para quais valores de o limite existe. A gente vai precisar saber sobre limites de funções, funções por partes e um pouco sobre continuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a função muda de expressão. Olhando a definição de , vemos que ela tem três partes:
  • Para ,
  • Para ,
  • Para ,
Esses pontos de mudança são e . Esses valores são importantes porque os limites podem ter comportamentos diferentes nesses pontos.

Passo 3

Agora, vamos analisar os limites para valores de que não são nem . Nesses casos, a função é definida por uma única expressão que é contínua nesse intervalo. Por exemplo:
  • Se , é contínua, então existe.
  • Se , também é contínua, então o limite existe.
  • Se , é contínua, então o limite existe.
Portanto, para todos os diferentes de e , o limite existe.

Passo 4

Vamos agora verificar o ponto . Aqui, a função muda de para . Para o limite existir nesse ponto, os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais.
  • Lado esquerdo ( ): Usamos . Então:
  • Lado direito ( ): Usamos . Então:
Como , o limite em não existe.

Passo 5

Agora, vamos analisar o ponto . Aqui, a função muda de para . Novamente, verificamos os limites pela esquerda e pela direita.
  • Lado esquerdo ( ): Usamos . Então:
  • Lado direito ( ): Usamos . Então:
Como os dois limites são iguais ( ), o limite em existe.

Resposta

O limite existe para todos os valores reais de , exceto quando .

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