Esboce o gráfico da função e use-o para determinar os valores de para os quais existe:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar o gráfico dessa função que muda de expressão em diferentes intervalos de e, com base nisso, descobrir para quais valores de o limite existe. A gente vai precisar saber sobre limites de funções, funções por partes e um pouco sobre continuidade.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde a função muda de expressão. Olhando a definição de , vemos que ela tem três partes:
Para ,
Para ,
Para ,
Esses pontos de mudança são e . Esses valores são importantes porque os limites podem ter comportamentos diferentes nesses pontos.
Passo 3
Agora, vamos analisar os limites para valores de que não são nem . Nesses casos, a função é definida por uma única expressão que é contínua nesse intervalo. Por exemplo:
Se , é contínua, então existe.
Se , também é contínua, então o limite existe.
Se , é contínua, então o limite existe.
Portanto, para todos os diferentes de e , o limite existe.
Passo 4
Vamos agora verificar o ponto . Aqui, a função muda de para . Para o limite existir nesse ponto, os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais.
Lado esquerdo (): Usamos . Então:
Lado direito (): Usamos . Então:
Como , o limite em não existe.
Passo 5
Agora, vamos analisar o ponto . Aqui, a função muda de para . Novamente, verificamos os limites pela esquerda e pela direita.
Lado esquerdo (): Usamos . Então:
Lado direito (): Usamos . Então:
Como os dois limites são iguais (), o limite em existe.
Resposta
O limite existe para todos os valores reais de , exceto quando .