Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema que pede para calcular a derivada da função . Isso está relacionado ao cálculo diferencial, mais especificamente ao uso da regra da cadeia para derivar funções compostas. Vamos precisar conhecer as derivadas de funções logarítmicas e exponenciais, além de como aplicar a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada da função logarítmica natural em relação a é dada por:
Aqui, é uma função de . No nosso caso, . Então, vamos identificar e .

Passo 3

Vamos calcular , onde :
Sabemos que a derivada de uma constante é zero, então . Agora, precisamos derivar .

Passo 4

Para derivar , usamos novamente a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , onde . Então:

Passo 5

Voltando ao cálculo de :

Passo 6

Agora, aplicando a derivada da função logarítmica que mencionamos no Passo 2:

Passo 7

Podemos simplificar a expressão multiplicando os termos:

Resposta

A derivada da função é:

Exercícios relacionados

Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:
Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:
Estima-se que, daqui a anos, a população em um certo município será de
milhares de habitantes. Um estudo ambiental revela que a concentração média de monóxido de carbono no ar é dada por partes por milhão, onde é a população em milhares de habitantes.
Qual será a taxa de variação da concentração de monóxido de carbono com relação ao tamanho da população quando o munícipio tiver 18 mil habitantes?
Esboce o gráfico da função e use-o para determinar os valores de para os quais existe: