Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o problema que pede para calcular a derivada da função
. Isso está relacionado ao cálculo diferencial, mais especificamente ao uso da regra da cadeia para derivar funções compostas. Vamos precisar conhecer as derivadas de funções logarítmicas e exponenciais, além de como aplicar a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada da função logarítmica natural
em relação a
é dada por:
Aqui,
é uma função de
. No nosso caso,
. Então, vamos identificar
e
.
Passo 3
Vamos calcular
, onde
:
Sabemos que a derivada de uma constante é zero, então
. Agora, precisamos derivar
.
Passo 4
Para derivar
, usamos novamente a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é
, onde
. Então:
Passo 5
Voltando ao cálculo de
:
Passo 6
Agora, aplicando a derivada da função logarítmica que mencionamos no Passo 2:
Passo 7
Podemos simplificar a expressão multiplicando os termos:
Resposta
A derivada da função
é:
Exercícios relacionados
Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:
Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:
Estima-se que, daqui a
anos, a população em um certo município será de
milhares de habitantes. Um estudo ambiental revela que a concentração média de monóxido de carbono no ar é dada por
partes por milhão, onde
é a população em milhares de habitantes.
Qual será a taxa de variação da concentração de monóxido de carbono com relação ao tamanho da população quando o munícipio tiver 18 mil habitantes?
Qual será a taxa de variação da concentração de monóxido de carbono com relação ao tamanho da população quando o munícipio tiver 18 mil habitantes?
Esboce o gráfico da função e use-o para determinar os valores de
para os quais
existe: