Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o problema que pede para calcular a derivada da função
. Isso está relacionado ao cálculo diferencial, mais especificamente ao uso da regra da cadeia para derivar funções compostas. Vamos precisar conhecer as derivadas de funções logarítmicas e exponenciais, além de como aplicar a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada da função logarítmica natural
em relação a
é dada por:
Aqui,
é uma função de
. No nosso caso,
. Então, vamos identificar
e
.
Passo 3
Vamos calcular
, onde
:
Sabemos que a derivada de uma constante é zero, então
. Agora, precisamos derivar
.
Passo 4
Para derivar
, usamos novamente a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é
, onde
. Então:
Passo 5
Voltando ao cálculo de
:
Passo 6
Agora, aplicando a derivada da função logarítmica que mencionamos no Passo 2:
Passo 7
Podemos simplificar a expressão multiplicando os termos:
Resposta
A derivada da função
é: