Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo: f(x) = ln(4 + e^(x^2))

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema que pede para calcular a derivada da função . Isso está relacionado ao cálculo diferencial, mais especificamente ao uso da regra da cadeia para derivar funções compostas. Vamos precisar conhecer as derivadas de funções logarítmicas e exponenciais, além de como aplicar a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada da função logarítmica natural em relação a é dada por:
Aqui, é uma função de . No nosso caso, . Então, vamos identificar e .

Passo 3

Vamos calcular , onde :
Sabemos que a derivada de uma constante é zero, então . Agora, precisamos derivar .

Passo 4

Para derivar , usamos novamente a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , onde . Então:

Passo 5

Voltando ao cálculo de :

Passo 6

Agora, aplicando a derivada da função logarítmica que mencionamos no Passo 2:

Passo 7

Podemos simplificar a expressão multiplicando os termos:

Resposta

A derivada da função é:

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