Estima-se que, daqui a anos, a população em um certo município será de
milhares de habitantes. Um estudo ambiental revela que a concentração média de monóxido de carbono no ar é dada por partes por milhão, onde é a população em milhares de habitantes.
Qual será a taxa de variação da concentração de monóxido de carbono com relação ao tamanho da população quando o munícipio tiver 18 mil habitantes?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema que envolve crescimento populacional e a concentração de monóxido de carbono no ar. A função que descreve a população em mil habitantes daqui a anos é . A concentração de CO, em partes por milhão, é dada por . Nosso objetivo é descobrir como a concentração de CO está mudando em relação ao tamanho da população quando a cidade tem 18 mil habitantes. Para isso, vamos precisar usar derivadas para achar a taxa de variação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a taxa de variação da concentração de CO em relação à população é dada pela derivada da função em relação a , ou seja, . Isso nos mostra como uma pequena mudança na população afeta a concentração de CO.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de . Para isso, usamos a regra da cadeia. A derivada de é , onde .
Passo 4
Calculando :
Passo 5
Agora, aplicando a regra da cadeia:
Passo 6
Finalmente, vamos substituir na expressão da derivada:
Resposta
A taxa de variação da concentração de monóxido de carbono em relação ao tamanho da população quando o município tiver 18 mil habitantes é partes por milhão por mil habitantes.