Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas. Decida quando integrar em relação a ou . Então, calcule a área da região.
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a parte c) do exercício. Aqui, temos duas curvas: e . O objetivo é esboçar a região delimitada por essas curvas, decidir se vamos integrar em relação a ou e, por fim, calcular a área dessa região. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo sobre integração e área entre curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos esboçar as curvas para entender como elas se comportam. A curva é uma reta que passa pela origem com inclinação 45 graus. Já é uma parábola que também passa pela origem, mas se abre para cima.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas para saber os limites da nossa integração. Para isso, igualamos as duas equações:
Subtraindo de ambos os lados:
Então, ou . Os pontos de interseção são e .
Passo 4
Com os pontos de interseção identificados, podemos visualizar que a região delimitada fica entre e . Agora, vamos decidir sobre qual variável integrar. Como estamos lidando com funções de , e as curvas são facilmente expressas em termos de , vamos integrar em relação a .
Passo 5
Para encontrar a área entre as curvas, usamos a fórmula:
Onde é a função de cima e a de baixo no intervalo de a .
Passo 6
Identificamos que, entre e , a reta está acima da parábola . Então, e .
Passo 7
Agora, vamos calcular a integral:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 8
Integral de em relação a é:
Integral de em relação a é:
Passo 9
Subtraindo as integrais:
Passo 10
Agora, avaliamos nos limites de integração:
Para :
Para :
Passo 11
Subtraindo os valores:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas e entre e é unidades de área.