Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua área.
a.
a.
Passo 1
Vamos resumir o que precisamos fazer. O exercício pede para a gente esboçar a região delimitada pelas curvas
e
, e depois calcular a área dessa região. Este tipo de exercício é sobre análise de gráficos de funções e cálculo de área entre curvas, que é um tópico de geometria analítica e cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender onde essas curvas se cruzam e, em seguida, calcular a área entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Para isso, igualamos as duas equações:
Agora, vamos resolver a equação para
. Colocando todos os termos em um lado:
Dividindo tudo por 2, temos:
Agora, tirando a raiz quadrada de ambos os lados, encontramos:
Então, os pontos de interseção são
e
.
Passo 3
Agora que a gente sabe onde as curvas se cruzam, vamos esboçar o gráfico dessas funções entre os pontos
e
. O gráfico de
é uma parábola voltada para baixo e o gráfico de
é uma parábola voltada para cima. Isso significa que a curva
está acima da curva
entre essas interseções.
Passo 4
Para encontrar a área entre essas curvas, a gente calcula a integral da função superior menos a função inferior, ou seja:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 5
Agora, a gente calcula essa integral:
Calculando a primeira parte:
Agora, a segunda parte:
Portanto, a área é:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas
e
é
unidades quadradas.
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