Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua área.
a.

Passo 1

Vamos resumir o que precisamos fazer. O exercício pede para a gente esboçar a região delimitada pelas curvas e , e depois calcular a área dessa região. Este tipo de exercício é sobre análise de gráficos de funções e cálculo de área entre curvas, que é um tópico de geometria analítica e cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender onde essas curvas se cruzam e, em seguida, calcular a área entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Para isso, igualamos as duas equações:
Agora, vamos resolver a equação para . Colocando todos os termos em um lado:
Dividindo tudo por 2, temos:
Agora, tirando a raiz quadrada de ambos os lados, encontramos:
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 3

Agora que a gente sabe onde as curvas se cruzam, vamos esboçar o gráfico dessas funções entre os pontos e . O gráfico de é uma parábola voltada para baixo e o gráfico de é uma parábola voltada para cima. Isso significa que a curva está acima da curva entre essas interseções.

Passo 4

Para encontrar a área entre essas curvas, a gente calcula a integral da função superior menos a função inferior, ou seja:
Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 5

Agora, a gente calcula essa integral:
Calculando a primeira parte:
Agora, a segunda parte:
Portanto, a área é:

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas e é unidades quadradas.

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