Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua área.
a. y=12-x^2, y=x^2-6

Passo 1

Vamos resumir o que precisamos fazer. O exercício pede para a gente esboçar a região delimitada pelas curvas y=12-x^2 e y=x^2-6, e depois calcular a área dessa região. Este tipo de exercício é sobre análise de gráficos de funções e cálculo de área entre curvas, que é um tópico de geometria analítica e cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender onde essas curvas se cruzam e, em seguida, calcular a área entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Para isso, igualamos as duas equações:
12 - x^2 = x^2 - 6
Agora, vamos resolver a equação para x. Colocando todos os termos em um lado:
12 + 6 = x^2 + x^2
18 = 2x^2
Dividindo tudo por 2, temos:
x^2 = 9
Agora, tirando a raiz quadrada de ambos os lados, encontramos:
x = 3 ou x = -3
Então, os pontos de interseção são x = -3 e x = 3.

Passo 3

Agora que a gente sabe onde as curvas se cruzam, vamos esboçar o gráfico dessas funções entre os pontos x = -3 e x = 3. O gráfico de y=12-x^2 é uma parábola voltada para baixo e o gráfico de y=x^2-6 é uma parábola voltada para cima. Isso significa que a curva y=12-x^2 está acima da curva y=x^2-6 entre essas interseções.

Passo 4

Para encontrar a área entre essas curvas, a gente calcula a integral da função superior menos a função inferior, ou seja:
A = integral-3^3 ( (12 - x^2) - (x^2 - 6) ) , dx
Simplificando a expressão dentro da integral:
A = integral-3^3 (12 - x^2 - x^2 + 6) , dx
A = integral-3^3 (18 - 2x^2) , dx

Passo 5

Agora, a gente calcula essa integral:
A = integral-3^3 18 , dx - integral-3^3 2x^2 , dx
Calculando a primeira parte:
integral-3^3 18 , dx = 18 cdot (3 - (-3)) = 18 cdot 6 = 108
Agora, a segunda parte:
integral-3^3 2x^2 , dx = 2 cdot [x^33]-3^3 = 2 cdot (273 - -273) = 2 cdot (9 + 9) = 2 cdot 18 = 36
Portanto, a área é:
A = 108 - 36 = 72

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas y=12-x^2 e y=x^2-6 é 72 unidades quadradas.

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