De modo a se fazer um resgate, um módulo lunar deve planar acima da superfície da lua, cuja gravidade é g/6. A velocidade de exaustão é 2000 m / s, porém, o combustível a ser usado deve ser 20 % da massa total. Por quanto tempo o módulo pode flutuar? Resp.: 273s

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre um módulo lunar que precisa planar acima da Lua. A gente vai usar conceitos de física, especificamente da terceira lei de Newton e da equação do foguete de Tsiolkovsky. Precisamos saber sobre gravidade, velocidade de exaustão e relação entre massa de combustível e massa total.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a gravidade na Lua. A aceleração da gravidade na Lua é g/6. Sabendo que g na Terra é aproximadamente 9,8 , m/s²², na Lua fica:
glua = 9,86 approx 1,63 , m/s² ²

Passo 3

Agora, vamos usar a equação do foguete de Tsiolkovsky, que relaciona a velocidade de exaustão ( ve), a massa inicial ( m0) e a massa final ( mf):
De
Onde De é a mudança na velocidade que queremos alcançar.

Passo 4

Sabemos que o combustível usado é 20% da massa total, então:
mcomb = 0,2 m0 mf = m0 - mcomb = m0 - 0,2 m0 = 0,8 m0

Passo 5

Substituindo na equação do foguete:
De
Calculando o logaritmo:
ln(10,8) = ln(1,25) approx 0,2231 De

Passo 6

Agora, vamos relacionar essa mudança de velocidade com o tempo que o módulo pode flutuar. A força necessária para manter o módulo flutuando é igual ao peso na Lua:
F = m cdot glua
E essa força é fornecida pela propulsão do motor:
F = dotm cdot ve
Onde dotm é a taxa de consumo de massa.

Passo 7

Igualando as duas expressões para a força:
m cdot glua = dotm cdot ve dotm = m cdot gluave

Passo 8

Sabendo que mcomb = 0,2 m0 e o tempo t de consumo do combustível é:

Resposta

O módulo pode flutuar por aproximadamente 273 segundos.

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