De modo a se fazer um resgate, um módulo lunar deve planar acima da superfície da lua, cuja gravidade é g/6. A velocidade de exaustão é , porém, o combustível a ser usado deve ser da massa total. Por quanto tempo o módulo pode flutuar? Resp.: 273s

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre um módulo lunar que precisa planar acima da Lua. A gente vai usar conceitos de física, especificamente da terceira lei de Newton e da equação do foguete de Tsiolkovsky. Precisamos saber sobre gravidade, velocidade de exaustão e relação entre massa de combustível e massa total.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a gravidade na Lua. A aceleração da gravidade na Lua é . Sabendo que na Terra é aproximadamente ², na Lua fica:
²

Passo 3

Agora, vamos usar a equação do foguete de Tsiolkovsky, que relaciona a velocidade de exaustão ( ), a massa inicial ( ) e a massa final ( ):
Onde é a mudança na velocidade que queremos alcançar.

Passo 4

Sabemos que o combustível usado é 20% da massa total, então:

Passo 5

Substituindo na equação do foguete:
Calculando o logaritmo:

Passo 6

Agora, vamos relacionar essa mudança de velocidade com o tempo que o módulo pode flutuar. A força necessária para manter o módulo flutuando é igual ao peso na Lua:
E essa força é fornecida pela propulsão do motor:
Onde é a taxa de consumo de massa.

Passo 7

Igualando as duas expressões para a força:

Passo 8

Sabendo que e o tempo de consumo do combustível é:

Resposta

O módulo pode flutuar por aproximadamente segundos.

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