Esboce as regioès delimitadas e calcular as respectivas arear:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente desenhar as regiões delimitadas pelas curvas e calcular as áreas correspondentes. O conteúdo envolvido aqui é cálculo integral, especialmente a parte que trata de áreas entre curvas. Para resolver, vamos precisar entender como identificar os limites de integração e aplicar a fórmula da integral definida.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações que definem as fronteiras das regiões. Temos:
E também as retas verticais:
Vamos reescrever a primeira equação para deixar claro o que é
:
Essa é uma função que descreve uma curva. As outras equações são retas que vão delimitar a região que precisamos analisar.
Passo 3
Agora, vamos determinar os pontos de interseção entre as curvas para saber os limites de integração. Precisamos encontrar onde
intercepta
:
Então, a curva corta o eixo
em
. Como temos a reta
, vamos verificar se
é maior ou menor que 1. Calculando:
Então, nossos limites de integração vão de
até
.
Passo 4
Para encontrar a área entre as curvas, usamos a seguinte fórmula da integral definida:
Aqui,
é a função de cima e
é a função de baixo. No nosso caso:
Então, a área será:
Passo 5
Vamos calcular a integral:
Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a
:
Substituindo
:
E substituindo
:
Então, a área total é:
Resposta
A área delimitada pelas curvas é: