O número de membros de uma associação de consumidores t anos após sua fundação, em 1993, é dado por
P(t)=100*(2*t^3-45*t^2+264*t)
Determine o maior e o menor número de associados no período de 1995 a 2008, indicando ainda os anos em que esses números foram atingidos.

Passo 1

Então, a gente tem um problema que fala sobre o número de membros de uma associação de consumidores ao longo dos anos. A função que descreve isso é , onde é o número de anos após a fundação em 1993. Nosso objetivo aqui é descobrir qual foi o maior e o menor número de associados entre 1995 e 2008, e em quais anos esses números aconteceram.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que exatamente a função representa. Ela nos dá o número de membros em função dos anos . Para encontrar os valores máximos e mínimos dessa função no período de 1995 a 2008, precisamos analisar o comportamento dessa função nesse intervalo.

Passo 3

Como 1995 é 2 anos após 1993 e 2008 é 15 anos após 1993, nosso intervalo de análise é de a . Para encontrar os pontos onde a função atinge seus valores máximos e mínimos, vamos precisar calcular a derivada de em relação a e encontrar onde essa derivada é igual a zero. Esses pontos são chamados de pontos críticos e são potenciais candidatos para máximos e mínimos.

Passo 4

Vamos calcular a derivada de :
Derivando em relação a :
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos resolver a equação para encontrar os valores de onde a inclinação da função é zero, ou seja, onde podemos ter máximos ou mínimos:
Dividindo todos os termos por 600 para simplificar:

Passo 6

Vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Calculando o discriminante:
Então,
Isso nos dá duas soluções:

Passo 7

Agora, temos três pontos para avaliar a função : os dois pontos críticos e , além dos extremos do intervalo e .
Vamos calcular em cada um desses valores:
  1. :
  1. :
  1. :
  1. :

Passo 8

Analisando os valores calculados:
  • Em (1995), membros
  • Em (1997), membros
  • Em (2004), membros
  • Em (2008), membros
O valor negativo em não faz sentido no contexto, indicando que a função não é válida para esse valor ou houve algum erro no modelo. Portanto, consideramos apenas os valores positivos dentro do intervalo.

Resposta

O maior número de associados foi de 112.100 membros no ano de 2004, e o menor número de associados foi de 36.400 membros no ano de 1995.

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