O número de membros de uma associação de consumidores
anos após sua fundação, em 1993, é dado por
Determine o maior e o menor número de associados no período de 1995 a 2008, indicando ainda os anos em que esses números foram atingidos.
Passo 1
Então, a gente tem um problema que fala sobre o número de membros de uma associação de consumidores ao longo dos anos. A função que descreve isso é
, onde
é o número de anos após a fundação em 1993. Nosso objetivo aqui é descobrir qual foi o maior e o menor número de associados entre 1995 e 2008, e em quais anos esses números aconteceram.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que exatamente a função
representa. Ela nos dá o número de membros
em função dos anos
. Para encontrar os valores máximos e mínimos dessa função no período de 1995 a 2008, precisamos analisar o comportamento dessa função nesse intervalo.
Passo 3
Como 1995 é 2 anos após 1993 e 2008 é 15 anos após 1993, nosso intervalo de análise é de
a
. Para encontrar os pontos onde a função atinge seus valores máximos e mínimos, vamos precisar calcular a derivada de
em relação a
e encontrar onde essa derivada é igual a zero. Esses pontos são chamados de pontos críticos e são potenciais candidatos para máximos e mínimos.
Passo 4
Vamos calcular a derivada de
:
Derivando em relação a
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos resolver a equação
para encontrar os valores de
onde a inclinação da função é zero, ou seja, onde podemos ter máximos ou mínimos:
Dividindo todos os termos por 600 para simplificar:
Passo 6
Vamos resolver a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Calculando o discriminante:
Então,
Isso nos dá duas soluções:
Passo 7
Agora, temos três pontos para avaliar a função
: os dois pontos críticos
e
, além dos extremos do intervalo
e
.
Vamos calcular
em cada um desses valores:
-
:
-
:
-
:
-
:
Passo 8
Analisando os valores calculados:
- Em
(1995), membros - Em
(1997), membros - Em
(2004), membros - Em
(2008), membros
O valor negativo em
não faz sentido no contexto, indicando que a função não é válida para esse valor ou houve algum erro no modelo. Portanto, consideramos apenas os valores positivos dentro do intervalo.
Resposta
O maior número de associados foi de 112.100 membros no ano de 2004, e o menor número de associados foi de 36.400 membros no ano de 1995.