Esboce as regioès delimitadas e calcular as respectivas arear:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa esboçar as regiões delimitadas pelas curvas dadas e calcular as respectivas áreas. As equações que temos são:
Aqui, y = 0 representa o eixo x. A outra equação envolve uma função , que vamos precisar rearranjar para facilitar nosso trabalho. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar . Fazendo isso, temos:
Então, a função que estamos analisando é:
Passo 3
O próximo passo é encontrar os pontos de intersecção entre a curva e o eixo x (). Para isso, igualamos a zero:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de .
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática , podemos multiplicar todos os termos por -1 para facilitar:
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Onde , e . Substituindo:
Então, os pontos de intersecção são:
Passo 5
Agora que temos os pontos de intersecção, podemos esboçar as regiões delimitadas. A curva é uma parábola que abre para baixo devido ao coeficiente negativo de . Ela cruza o eixo x nos valores que acabamos de encontrar.
A região que vamos considerar para calcular a área está entre esses dois pontos de intersecção e abaixo da parábola, acima do eixo x.
Passo 6
Para calcular a área dessa região, vamos integrar a função no intervalo entre os pontos de intersecção. A fórmula da integral definida é:
Onde e .
Passo 7
Substituindo na integral, temos:
Vamos calcular essa integral passo a passo.
Passo 8
Integrando termo a termo:
Portanto:
Passo 9
Agora, vamos avaliar a integral nos limites de integração:
Isso pode parecer complicado, mas vamos simplificar passo a passo.
Passo 10
Após realizar os cálculos (que envolvem expansão e simplificação de frações com radicais), o resultado final da área fica:
Resposta
A área das regiões delimitadas é unidades de área.