Uma escada com 13 pés de comprimento está apoiada em uma parede vertical. De repente, a sua base começa a escorregar, afastando-se da parede. No momento em que a base está a 12 pés da parede ela escorrega uma taxa de 5 pés por segundo. A que velocidade o topo da escada escorrega para baixo na parede?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma escada de 13 pés que está encostada em uma parede. A base da escada está escorregando para longe da parede a uma taxa de 5 pés por segundo. Queremos descobrir a que velocidade o topo da escada está descendo pela parede. Então, o conteúdo aqui envolve um pouquinho de trigonometria e cálculo, especialmente taxas relacionadas. Vamos precisar usar o Teorema de Pitágoras e derivadas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar uma imagem mental: imagine uma escada formando um triângulo retângulo com a parede e o chão. Vamos chamar:
- $ x $ de distância da base da escada até a parede,
- $ y $ de altura do topo da escada na parede,
- e a escada tem um comprimento fixo de 13 pés.
De acordo com o Teorema de Pitágoras, temos:
Isso relaciona as duas variáveis $ x $ e $ y $ que estão mudando com o tempo.
Passo 3
Agora, queremos saber como $ y $ muda em relação ao tempo quando $ x $ está mudando. Para isso, vamos diferenciar a equação em relação ao tempo $ t $:
Usando a regra da cadeia:
Podemos simplificar dividindo tudo por 2:
Passo 4
Nosso objetivo é encontrar $ \frac{dy}{dt} $, a velocidade com que o topo da escada está descendo. Sabemos que:
- Quando $ x = 12 $ pés,
- $ \frac{dx}{dt} = 5 $ pés por segundo.
Primeiro, encontraremos $ y $ quando $ x = 12 $:
Passo 5
Agora, substituímos os valores conhecidos na equação diferenciada:
Isolando $ \frac{dy}{dt} $:
Resposta
O topo da escada está descendo na parede a uma velocidade de 12 pés por segundo.