Uma escada com 13 pés de comprimento está apoiada em uma parede vertical. De repente, a sua base começa a escorregar, afastando-se da parede. No momento em que a base está a 12 pés da parede ela escorrega uma taxa de 5 pés por segundo. A que velocidade o topo da escada escorrega para baixo na parede?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma escada de 13 pés que está encostada em uma parede. A base da escada está escorregando para longe da parede a uma taxa de 5 pés por segundo. Queremos descobrir a que velocidade o topo da escada está descendo pela parede. Então, o conteúdo aqui envolve um pouquinho de trigonometria e cálculo, especialmente taxas relacionadas. Vamos precisar usar o Teorema de Pitágoras e derivadas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar uma imagem mental: imagine uma escada formando um triângulo retângulo com a parede e o chão. Vamos chamar:
  • $ x $ de distância da base da escada até a parede,
  • $ y $ de altura do topo da escada na parede,
  • e a escada tem um comprimento fixo de 13 pés.
De acordo com o Teorema de Pitágoras, temos:
x
y
Isso relaciona as duas variáveis $ x $ e $ y $ que estão mudando com o tempo.

Passo 3

Agora, queremos saber como $ y $ muda em relação ao tempo quando $ x $ está mudando. Para isso, vamos diferenciar a equação em relação ao tempo $ t $:
y
Usando a regra da cadeia:
x
Podemos simplificar dividindo tudo por 2:
t

Passo 4

Nosso objetivo é encontrar $ \frac{dy}{dt} $, a velocidade com que o topo da escada está descendo. Sabemos que:
  • Quando $ x = 12 $ pés,
  • $ \frac{dx}{dt} = 5 $ pés por segundo.
Primeiro, encontraremos $ y $ quando $ x = 12 $:
dydt
x = 12
dxdt = 5
y é

Passo 5

Agora, substituímos os valores conhecidos na equação diferenciada:
12 cdot 5 + 5 cdot dydt = 0
60 + 5 cdot dydt = 0
Isolando $ \frac{dy}{dt} $:
dydt
5 cdot dydt = -60 é

Resposta

O topo da escada está descendo na parede a uma velocidade de 12 pés por segundo.

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