O campo elétrico de uma casca esférica não condutora, uniformemente carregada, de raio R se comporta como se toda sua carga Q estivesse concentrada na origem.
Sendo assim, qual é o módulo do campo elétrico E de uma casca esférica, a uma distância r de sua origem?
Sendo assim, qual é o módulo do campo elétrico E de uma casca esférica, a uma distância r de sua origem?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o campo elétrico de uma casca esférica não condutora, que está uniformemente carregada com uma carga total $ Q $ e raio $ R $. Queremos descobrir qual é o módulo do campo elétrico $ E $ a uma distância $ r $ do centro dessa casca. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de Lei de Gauss e simetria esférica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o campo elétrico. O campo elétrico $ E $ é uma medida da força que uma carga exerce sobre outra carga em seu entorno. Para distribuições de carga com simetria especial, como uma esfera, a Lei de Gauss nos ajuda a calcular $ E $ de forma mais fácil.
Passo 3
A Lei de Gauss diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo $ \varepsilon_0 $:
No nosso caso, temos uma casca esférica, então a simetria é esférica.
Passo 4
Vamos considerar duas situações:
- Quando $ r > R $ (fora da casca)
- Quando $ r < R $ (dentro da casca)
Isso porque a distribuição de carga influencia o campo elétrico de maneira diferente nessas duas regiões.
Passo 5
Para $ r > R $:
Acasca esférica se comporta como se toda a carga $ Q $ estivesse concentrada no centro. Então, aplicando a Lei de Gauss, temos:
Resolvendo para $ E $:
Para $ r < R $:
Dentro da casca esférica, a carga total dentro da superfície gaussiana é zero (já que a carga está na casca). Portanto:
Resposta
O módulo do campo elétrico $ E $ da casca esférica é dado por: