Uma escada de 5 metros desliza pela parede, sabendo que está inicialmente a uma distancia de 3 metros da parede e que o ponto de apoio da escada na parede está a 4 metros de altura do solo. Calcule a velocidade de descida do topo sabendo que a base se afasta da parede com 8 m / s.

Passo 1

Então, a gente tem uma escada de 5 metros que está deslizando pela parede. No começo, a base da escada está a 3 metros da parede e o topo está a 4 metros do chão. A base está se afastando da parede a uma velocidade de . A gente vai usar o cálculo das taxas relacionadas para descobrir quão rápido o topo da escada está descendo.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar um triângulo retângulo onde a escada é a hipotenusa. Vamos chamar a distância da base da escada à parede de x(t)^2 + y(t)^2 = 5^2 e a altura do topo da escada em relação ao chão de . Sabemos que a escada tem comprimento fixo de 5 metros, então podemos usar o teorema de Pitágoras:

Passo 3

Como queremos saber como 2x(t)dxdt + 2y(t)dydt = 0 muda com o tempo, vamos derivar toda a equação em relação ao tempo x(t)dxdt + y(t)dydt = 0 :
Isso simplifica para:

Passo 4

A gente sabe que 3 times 8 + 4 times dydt = 0 , 24 + 4dydt = 0 e . Vamos substituir esses valores na equação:

Passo 5

Agora, vamos resolver para 4dydt = -24 :
dydt = -6 , m/s

Resposta

O topo da escada está descendo a uma velocidade de .

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