Uma escada rolante liga um andar de uma loja a outro situado 7,5 m acima. O comprimento da escada é 12 m. (a) Qual deve ser a potência mínima do motor para transportar até 100 pessoas por minuto, sendo a massa média de 70 kg ? (b) Um homem de 70 kg sobe a escada em 10 s . Que trabalho o motor realiza sobre ele?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de física que fala sobre escadas rolantes. A gente vai precisar usar conceitos de trabalho e potência, além de fórmulas de energia potencial e potência. Vamos calcular a potência mínima que o motor precisa ter para subir 100 pessoas por minuto e depois descobrir o trabalho que o motor faz quando um homem sobe a escada em 10 segundos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa potência. Potência é a quantidade de trabalho que é feito em um certo tempo. A fórmula básica é:
P = Wt
onde $ P $ é a potência, $ W $ é o trabalho, e $ t $ é o tempo.

Passo 3

Para calcular o trabalho necessário para levantar uma pessoa, usamos a energia potencial gravitacional. A fórmula é:
W = m cdot g cdot h
onde $ m $ é a massa da pessoa, $ g $ é a aceleração da gravidade (aproximadamente $ 9,8 , m/s^2 $), e $ h $ é a altura que a pessoa é levantada.

Passo 4

Vamos calcular o trabalho para uma pessoa subir a escada. Sabemos que a massa média é de 70 kg e a altura é de 7,5 metros.
Wpessoa = 70 , kg times 9,8 , m/s^2 times 7,5 , m = 5145 , J

Passo 5

Agora, vamos calcular para 100 pessoas por minuto. O trabalho total é:
Wtotal = 100 times 5145 , J = 514500 , J

Passo 6

Como queremos a potência por minuto, precisamos converter o tempo para segundos porque a potência está em watts, que são joules por segundo. Um minuto tem 60 segundos.
P = 514500 , J60 , s = 8575 , W

Passo 7

Então, a potência mínima que o motor deve ter para transportar 100 pessoas por minuto é de aproximadamente 8575 watts, ou 8,575 kilowatts.

Passo 8

Agora, para a parte (b), queremos saber o trabalho que o motor faz para um homem de 70 kg subir em 10 segundos. Já calculamos o trabalho para uma pessoa subir:
W = 5145 , J

Passo 9

Independentemente do tempo, o trabalho realizado para levantar a pessoa é o mesmo, já que depende apenas da massa, da gravidade e da altura.

Resposta

(a) A potência mínima do motor é de aproximadamente 8.575 kW.
(b) O motor realiza um trabalho de 5.145 J sobre o homem.

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