Uma escada rolante transporta passageiros do andar térreo A ao andar superior B, com velocidade constante. A escada tem comprimento total igual a 15 m, degraus em número de 75 e inclinação igual a
. Determine: (a) o trabalho da força motora necessário para elevar um passageiro de massa 80 kg de A até B; (b) a potência correspondente ao item anterior, empregada pelo motor que aciona o mecanismo efetuando o transporte em 30 s; © o rendimento do motor sabendo que a potência total do motor é 400 W. Considere
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de física juntos! O problema fala sobre uma escada rolante que transporta passageiros do andar térreo A até o andar superior B. A escada tem um comprimento total de 15 metros, com 75 degraus e está inclinada a 30 graus. Vamos precisar usar conceitos de trabalho, potência e eficiência na física para resolver as três partes do exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o trabalho da força motora necessária para elevar um passageiro de massa 80 kg do andar A para o B. O trabalho (W) é dado pela energia necessária para levantar o passageiro contra a gravidade. A fórmula que usamos é:
onde:
- $ m $ é a massa do passageiro (80 kg),
- $ g $ é a aceleração da gravidade (10 m/s²),
- $ h $ é a altura que precisamos elevar o passageiro.
Mas como encontramos a altura ($ h $)? Sabemos que a escada tem uma inclinação de 30 graus e um comprimento total de 15 metros. Podemos usar a relação trigonométrica:
onde:
- $ L $ é o comprimento da escada (15 m),
- $ \theta $ é o ângulo de inclinação (30°).
Primeiro, calculamos $ h $:
Agora, substituímos na fórmula do trabalho:
Passo 3
Agora, vamos para a segunda parte: determinar a potência correspondente ao trabalho que acabamos de calcular, considerando que o transporte ocorre em 30 segundos. A potência § é a taxa de realização do trabalho, ou seja:
onde:
- $ W $ é o trabalho (6000 J),
- $ t $ é o tempo (30 s).
Substituindo os valores:
Passo 4
Por fim, vamos calcular o rendimento do motor. O rendimento ($ \eta $) é a eficiência com que o motor converte a energia fornecida em trabalho útil. A fórmula do rendimento é:
onde:
- $ P_{útil} $ é a potência útil (200 W),
- $ P_{total} $ é a potência total do motor (400 W).
Substituindo os valores:
Resposta
(a) O trabalho necessário é de 6000 J; (b) A potência correspondente é de 200 W; © O rendimento do motor é de 50 %.