Em um escoamento bidimensional o campo de velocidade é dado por
e
.t. Determine a aceleração na origem e no ponto
no instante
(medida em cm ).
Obs:
e
são funções do tempo
Obs:
Passo 1
Então, a gente tem um movimento bidimensional onde a velocidade em cada direção depende do tempo e da posição. As fórmulas dadas são
e
. A gente vai precisar calcular a aceleração em dois pontos específicos: na origem
e no ponto
, no instante
segundos. Para isso, vamos usar as fórmulas de aceleração em campos de velocidade, que envolvem derivadas das velocidades em relação ao tempo e às posições.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a aceleração
em um campo de velocidade é dada por:
Aqui,
é o campo de velocidade, e
é o operador nabla que representa derivadas espaciais.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação ao tempo
:
E para
:
Então, a parte da aceleração que envolve a derivada temporal é
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda parte da aceleração, que é
. Primeiro, precisamos das derivadas parciais de
e
em relação a
e
.
Para
:
Para
:
Então, o termo
fica:
Passo 5
Agora, juntando as duas partes, a aceleração total é:
Passo 6
Vamos calcular a aceleração na origem
no instante
s:
Substituindo na expressão da aceleração:
Passo 7
Agora, vamos calcular a aceleração no ponto
no instante
s:
Substituindo na expressão da aceleração:
Resposta
A aceleração na origem é
cm/s² e no ponto
é
cm/s².
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