Em um escoamento bidimensional o campo de velocidade é dado por e .t. Determine a aceleração na origem e no ponto no instante (medida em cm ).
Obs: e são funções do tempo

Passo 1

Então, a gente tem um movimento bidimensional onde a velocidade em cada direção depende do tempo e da posição. As fórmulas dadas são e . A gente vai precisar calcular a aceleração em dois pontos específicos: na origem e no ponto , no instante segundos. Para isso, vamos usar as fórmulas de aceleração em campos de velocidade, que envolvem derivadas das velocidades em relação ao tempo e às posições.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a aceleração em um campo de velocidade é dada por:
Aqui, é o campo de velocidade, e é o operador nabla que representa derivadas espaciais.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação ao tempo :
E para :
Então, a parte da aceleração que envolve a derivada temporal é .

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda parte da aceleração, que é . Primeiro, precisamos das derivadas parciais de e em relação a e .
Para :
Para :
Então, o termo fica:

Passo 5

Agora, juntando as duas partes, a aceleração total é:

Passo 6

Vamos calcular a aceleração na origem no instante s:
Substituindo na expressão da aceleração:

Passo 7

Agora, vamos calcular a aceleração no ponto no instante s:
Substituindo na expressão da aceleração:

Resposta

A aceleração na origem é cm/s² e no ponto é cm/s².

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