Em um escoamento bidimensional o campo de velocidade é dado por Vx=2 x t e Vy= y^2.t. Determine a aceleração na origem e no ponto P=(1,2) no instante t=5 s (medida em cm ).
Obs: Vx e Vy são funções do tempo

Passo 1

Então, a gente tem um movimento bidimensional onde a velocidade em cada direção depende do tempo e da posição. As fórmulas dadas são e . A gente vai precisar calcular a aceleração em dois pontos específicos: na origem e no ponto , no instante segundos. Para isso, vamos usar as fórmulas de aceleração em campos de velocidade, que envolvem derivadas das velocidades em relação ao tempo e às posições.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a aceleração a = partial Vpartial t + (V cdot nabla) V em um campo de velocidade é dada por:
Aqui, é o campo de velocidade, e é o operador nabla que representa derivadas espaciais.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de partial Vxpartial t = partialpartial t (2xt) = 2x em relação ao tempo partial Vypartial t = partialpartial t (y^2t) = y^2 :
E para :
Então, a parte da aceleração que envolve a derivada temporal é .

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda parte da aceleração, que é partial Vxpartial x = 2t e partial Vxpartial y = 0 . Primeiro, precisamos das derivadas parciais de partial Vypartial x = 0 e partial Vypartial y = 2yt e ( Vx partial Vxpartial x + Vy partial Vxpartial y, Vx partial Vypartial x + Vy partial Vypartial y ) = ( (2xt)(2t) + (y^2t)(0), (2xt)(0) + (y^2t)(2yt) ) = (4x t^2, 2 y^3 t ) em relação a e .
Para :
Para :
Então, o termo fica:

Passo 5

Agora, juntando as duas partes, a aceleração total é:
a = (2x, y^2) + (4x t^2, 2 y^3 t) = (2x + 4x t^2, y^2 + 2 y^3 t)

Passo 6

Vamos calcular a aceleração na origem x = 0, y = 0 no instante a(0,0) = (2(0) + 4(0)(5)^2, 0^2 + 2(0)^3(5)) = (0, 0) s:
Substituindo na expressão da aceleração:

Passo 7

Agora, vamos calcular a aceleração no ponto x = 1, y = 2 no instante a(1,2) = (2(1) + 4(1)(5)^2, 2^2 + 2(2)^3(5)) = (2 + 4 times 25, 4 + 2 times 8 times 5) = (2 + 100, 4 + 80) = (102, 84) s:
Substituindo na expressão da aceleração:

Resposta

A aceleração na origem é cm/s² e no ponto é cm/s².

Exercícios relacionados