A componente da velocidade em um campo de escoamento em regime permanente e incompressível no plano é
Mostre que a expressão mais simples para a componente x da velocidade é:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a componente da velocidade num campo de escoamento que está em regime permanente e incompressível no plano . O conteúdo da matéria que vamos precisar envolve equações de continuidade para escoamentos incompressíveis e manipulação algébrica para simplificar expressões. Nosso objetivo é mostrar que a componente da velocidade pode ser expressa de uma forma mais simples usando a fórmula fornecida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um escoamento incompressível, a equação de continuidade deve ser satisfeita. No plano , isso significa que:
Isso garante que a massa é conservada no escoamento.

Passo 3

Dado que a componente da velocidade é:
Precisamos encontrar a componente que satisfaça a equação de continuidade. Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Aplicando a regra do quociente para derivar, temos:
Simplificando isso, obtemos:

Passo 5

Agora, usando a equação de continuidade:
Para encontrar , precisamos integrar em relação a .

Passo 6

Integrando:
Vamos simplificar a integral. Podemos reescrever o numerador:
Então, a integral fica:

Passo 7

Vamos dividir a fração em duas partes:
Podemos fatorar constantes e simplificar:

Passo 8

Utilizando substituição , então .
Para a primeira integral:
Integrando termo a termo:
Para a segunda integral:

Passo 9

Somando as duas partes:
Substituindo :
Como estamos lidando com um campo de escoamento improvavelmente sem circulação infinita, podemos considerar .

Resposta

A componente da velocidade é dada por:

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