A componente
da velocidade em um campo de escoamento em regime permanente e incompressível no plano
é
Mostre que a expressão mais simples para a componente x da velocidade é:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a componente
da velocidade num campo de escoamento que está em regime permanente e incompressível no plano
. O conteúdo da matéria que vamos precisar envolve equações de continuidade para escoamentos incompressíveis e manipulação algébrica para simplificar expressões. Nosso objetivo é mostrar que a componente
da velocidade pode ser expressa de uma forma mais simples usando a fórmula fornecida.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para um escoamento incompressível, a equação de continuidade deve ser satisfeita. No plano
, isso significa que:
Isso garante que a massa é conservada no escoamento.
Passo 3
Dado que a componente
da velocidade é:
Precisamos encontrar a componente
que satisfaça a equação de continuidade. Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Aplicando a regra do quociente para derivar, temos:
Simplificando isso, obtemos:
Passo 5
Agora, usando a equação de continuidade:
Para encontrar
, precisamos integrar
em relação a
.
Passo 6
Integrando:
Vamos simplificar a integral. Podemos reescrever o numerador:
Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos dividir a fração em duas partes:
Podemos fatorar constantes e simplificar:
Passo 8
Utilizando substituição
, então
.
Para a primeira integral:
Integrando termo a termo:
Para a segunda integral:
Passo 9
Somando as duas partes:
Substituindo
:
Como estamos lidando com um campo de escoamento improvavelmente sem circulação infinita, podemos considerar
.
Resposta
A componente
da velocidade é dada por: