A componente x da velocidade em um campo de escoamento em regime permanente e incompressível no plano x y é
v=2 x y(x^2+y^2)^2
Mostre que a expressão mais simples para a componente x da velocidade é:
u=1(x^2+y^2)-2 y^2(x^2+y^2)^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a componente v da velocidade num campo de escoamento que está em regime permanente e incompressível no plano xy. O conteúdo da matéria que vamos precisar envolve equações de continuidade para escoamentos incompressíveis e manipulação algébrica para simplificar expressões. Nosso objetivo é mostrar que a componente u da velocidade pode ser expressa de uma forma mais simples usando a fórmula fornecida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um escoamento incompressível, a equação de continuidade deve ser satisfeita. No plano xy, isso significa que:
partial upartial x + partial vpartial y = 0
Isso garante que a massa é conservada no escoamento.

Passo 3

Dado que a componente v da velocidade é:
v = 2xy(x^2 + y^2)^2
Precisamos encontrar a componente u que satisfaça a equação de continuidade. Vamos calcular a derivada parcial de v em relação a y:
partial vpartial y = partialpartial y ( 2xy(x^2 + y^2)^2 )

Passo 4

Aplicando a regra do quociente para derivar, temos:
partial vpartial y = 2x (x^2 + y^2)^2 - 2xy cdot 2 (x^2 + y^2) cdot 2y(x^2 + y^2)^4
Simplificando isso, obtemos:
partial vpartial y = 2x(x^2 + y^2) - 8xy^2(x^2 + y^2)^3 = 2x(x^2 + y^2 - 4y^2)(x^2 + y^2)^3 = 2x(x^2 - 3y^2)(x^2 + y^2)^3

Passo 5

Agora, usando a equação de continuidade:
partial upartial x + partial vpartial y = 0 Rightarrow partial upartial x = -partial vpartial y = -2x(x^2 - 3y^2)(x^2 + y^2)^3
Para encontrar u, precisamos integrar partial upartial x em relação a x.

Passo 6

Integrando:
u = integral -2x(x^2 - 3y^2)(x^2 + y^2)^3 dx
Vamos simplificar a integral. Podemos reescrever o numerador:
-2x(x^2 - 3y^2) = -2x^3 + 6xy^2
Então, a integral fica:
u = integral -2x^3 + 6xy^2(x^2 + y^2)^3 dx

Passo 7

Vamos dividir a fração em duas partes:
u = integral -2x^3(x^2 + y^2)^3 dx + integral 6xy^2(x^2 + y^2)^3 dx
Podemos fatorar constantes e simplificar:
u = -2 integral x^3(x^2 + y^2)^3 dx + 6y^2 integral x(x^2 + y^2)^3 dx

Passo 8

Utilizando substituição w = x^2 + y^2, então dw = 2x dx.
Para a primeira integral:
-2 integral x^3w^3 dx = -2 integral x^2w^3 cdot x dx = -2 integral w - y^2w^3 cdot dw2 = -integral w - y^2w^3 dw = -integral (1w^2 - y^2w^3) dw
Integrando termo a termo:
-( -1w + y^22w^2 ) + C = 1w - y^22w^2 + C
Para a segunda integral:
6y^2 integral xw^3 dx = 6y^2 cdot 12 integral 1w^3 dw = 3y^2 cdot ( -12w^2 ) + C = -3y^22w^2 + C

Passo 9

Somando as duas partes:
u = ( 1w - y^22w^2 ) - 3y^22w^2 + C = 1w - 2y^2w^2 + C
Substituindo w = x^2 + y^2:
u = 1x^2 + y^2 - 2y^2(x^2 + y^2)^2 + C
Como estamos lidando com um campo de escoamento improvavelmente sem circulação infinita, podemos considerar C = 0.

Resposta

A componente u da velocidade é dada por:
u = 1(x^2 + y^2) - 2y^2(x^2 + y^2)^2

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