Em um escoamento laminar dentro de um tubo cilíndrico de raio R, a velocidade do fluido
é é função apenas da coordenada radial r e é descrita pela equação de Poiseuille. Usando o sistema de coordenadas cilíndricas, derive a equação de continuidade para o escoamento e determine a relação entre a taxa volumétrica de fluxo e o perfil de velocidade.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o escoamento laminar em um tubo cilíndrico. A gente vai trabalhar com a equação de continuidade, que é fundamental na mecânica dos fluidos para garantir que a massa do fluido seja conservada enquanto ele se movimenta. Para resolver isso, precisamos entender como a velocidade do fluido varia radialmente (isto é, em função da distância do centro do tubo).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a equação de continuidade. Em termos simples, ela diz que a quantidade de fluido que entra em uma seção do tubo deve ser igual à quantidade que sai, mantendo o fluxo constante. Para um escoamento incompressível, a equação de continuidade em coordenadas cilíndricas é:
Aqui,
é a velocidade radial e
é a velocidade axial.
Passo 3
No nosso caso, o escoamento é axisimétrico e estacionário, o que significa que não há variação nas direções angular e axial com o tempo. Além disso, a velocidade depende apenas da coordenada radial
, ou seja,
e
(não há fluxo radial). Com essas simplificações, a equação de continuidade fica:
Como
, a primeira parte da equação desaparece, e como o fluxo é independente de
, a derivada também é zero. Isso confirma que a equação de continuidade está satisfeita para nosso caso.
Passo 4
Agora, vamos relacionar a taxa volumétrica de fluxo (
) com o perfil de velocidade (
). A taxa volumétrica é a quantidade de fluido que passa por uma seção do tubo por unidade de tempo. Para encontrar
, integramos a velocidade sobre a área da seção transversal do tubo:
Aqui,
é o raio do tubo.
Passo 5
Resolvendo a integral, primeiro integramos em
:
Então, a relação entre a taxa volumétrica de fluxo e o perfil de velocidade é:
Resposta
A taxa volumétrica de fluxo está relacionada ao perfil de velocidade pela equação:
Isso significa que, para determinar
, a gente integra a velocidade
multiplicada pela coordenada radial
de 0 até o raio
do tubo, e então multiplica por
.