Em um escoamento laminar dentro de um tubo cilíndrico de raio R, a velocidade do fluido v(r) é é função apenas da coordenada radial r e é descrita pela equação de Poiseuille. Usando o sistema de coordenadas cilíndricas, derive a equação de continuidade para o escoamento e determine a relação entre a taxa volumétrica de fluxo e o perfil de velocidade.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o escoamento laminar em um tubo cilíndrico. A gente vai trabalhar com a equação de continuidade, que é fundamental na mecânica dos fluidos para garantir que a massa do fluido seja conservada enquanto ele se movimenta. Para resolver isso, precisamos entender como a velocidade do fluido varia radialmente (isto é, em função da distância do centro do tubo).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a equação de continuidade. Em termos simples, ela diz que a quantidade de fluido que entra em uma seção do tubo deve ser igual à quantidade que sai, mantendo o fluxo constante. Para um escoamento incompressível, a equação de continuidade em coordenadas cilíndricas é:
1r ddr(r vr) + d vzdz = 0
Aqui, é a velocidade radial e é a velocidade axial.

Passo 3

No nosso caso, o escoamento é axisimétrico e estacionário, o que significa que não há variação nas direções angular e axial com o tempo. Além disso, a velocidade depende apenas da coordenada radial 1r ddr(r cdot 0) + d v(r)dz = 0 , ou seja, e (não há fluxo radial). Com essas simplificações, a equação de continuidade fica:
Como , a primeira parte da equação desaparece, e como o fluxo é independente de , a derivada também é zero. Isso confirma que a equação de continuidade está satisfeita para nosso caso.

Passo 4

Agora, vamos relacionar a taxa volumétrica de fluxo ( Q = integral0^2pi integral0^R v(r) cdot r , dr , dtheta ) com o perfil de velocidade ( ). A taxa volumétrica é a quantidade de fluido que passa por uma seção do tubo por unidade de tempo. Para encontrar , integramos a velocidade sobre a área da seção transversal do tubo:
Aqui, é o raio do tubo.

Passo 5

Resolvendo a integral, primeiro integramos em Q = integral0^R v(r) cdot r ( integral0^2pi dtheta ) dr = 2pi integral0^R v(r) cdot r , dr :
Q = 2pi integral0^R v(r) cdot r , dr
Então, a relação entre a taxa volumétrica de fluxo e o perfil de velocidade é:

Resposta

A taxa volumétrica de fluxo está relacionada ao perfil de velocidade pela equação:
Q = 2pi integral0^R v(r) cdot r , dr
Isso significa que, para determinar , a gente integra a velocidade multiplicada pela coordenada radial de 0 até o raio do tubo, e então multiplica por .

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