Em um escoamento laminar dentro de um tubo cilíndrico de raio R, a velocidade do fluido
é é função apenas da coordenada radial r e é descrita pela equação de Poiseuille. Usando o sistema de coordenadas cilíndricas, derive a equação de continuidade para o escoamento e determine a relação entre a taxa volumétrica de fluxo e o perfil de velocidade.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o escoamento laminar em um tubo cilíndrico. A gente vai trabalhar com a equação de continuidade, que é fundamental na mecânica dos fluidos para garantir que a massa do fluido seja conservada enquanto ele se movimenta. Para resolver isso, precisamos entender como a velocidade do fluido varia radialmente (isto é, em função da distância do centro do tubo).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a equação de continuidade. Em termos simples, ela diz que a quantidade de fluido que entra em uma seção do tubo deve ser igual à quantidade que sai, mantendo o fluxo constante. Para um escoamento incompressível, a equação de continuidade em coordenadas cilíndricas é:
Aqui,
é a velocidade radial e
é a velocidade axial.
Passo 3
No nosso caso, o escoamento é axisimétrico e estacionário, o que significa que não há variação nas direções angular e axial com o tempo. Além disso, a velocidade depende apenas da coordenada radial
, ou seja,
e
(não há fluxo radial). Com essas simplificações, a equação de continuidade fica:
Como
, a primeira parte da equação desaparece, e como o fluxo é independente de
, a derivada também é zero. Isso confirma que a equação de continuidade está satisfeita para nosso caso.
Passo 4
Agora, vamos relacionar a taxa volumétrica de fluxo (
) com o perfil de velocidade (
). A taxa volumétrica é a quantidade de fluido que passa por uma seção do tubo por unidade de tempo. Para encontrar
, integramos a velocidade sobre a área da seção transversal do tubo:
Aqui,
é o raio do tubo.
Passo 5
Resolvendo a integral, primeiro integramos em
:
Então, a relação entre a taxa volumétrica de fluxo e o perfil de velocidade é:
Resposta
A taxa volumétrica de fluxo está relacionada ao perfil de velocidade pela equação:
Isso significa que, para determinar
, a gente integra a velocidade
multiplicada pela coordenada radial
de 0 até o raio
do tubo, e então multiplica por
.
Exercícios relacionados
Ar quente escoa a uma vazão mássica de
em um leito feito com uma folha metálica, sem isolamento térmico com
, que se encontra no porão de uma casa. 0 ar quente entra a
e, após uma distância de
se resfria atingindo
. O coeficiente de transferência de calor entre a superfície externa do duto e o ar ambiente a
é igual a
. Considere temperatura da superfície constante.
a) Calcule a perda térmica (W) no duto ao longo do comprimento.
b) Determine o fluxo térmico e a temperatura na superfície do duto .
Dados na temperatura de referência (temperatura de filme para escoamento interno): ;
Propriedades a :
Resp: a) -910 W ; b) e
a) Calcule a perda térmica (W) no duto ao longo do comprimento.
b) Determine o fluxo térmico e a temperatura na superfície do duto
Dados na temperatura de referência (temperatura de filme para escoamento interno):
Propriedades a
Resp: a) -910 W ; b)
Água entra a uma vazão mássica de
e a
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a) O número de Reynolds
b) O coeficiente convectivo de transferência de calor
c) O comprimento que a tubulação deve ter para que a temperatura média de saída apresente um aumento de em relação à temperatura de entrada
d) A temperatura da superfície do tubo na saída
Resp: a) 716, b)
; c)
d)
a) O número de Reynolds
b) O coeficiente convectivo de transferência de calor
c) O comprimento que a tubulação deve ter para que a temperatura média de saída apresente um aumento de
d) A temperatura da superfície do tubo na saída
Resp: a) 716,
Aletas são usadas para aumentar a transferência de calor, aumentando a área de troca, contudo, sua eficiência não é
. De acordo com a definição de eficiência, qual parâmetro deve ser garantido para atingir uma alta eficiência? Explique com suas palavras porque um escoamento com alto coeficiente de transferência de calor por convecção gera eficiências menores nas aletas.
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, onde
é a amplitude da pressão,
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