Num escoamento entre placas paralelas, considerando que a origem do sistema de coordenadas cartesianas é colocada na metade da distância entre as placas e que o eixo x coincide com a direção de escoamento, a distribuição de velocidade é dada por:
vxVmax =1-(2 yH)^2
onde H é a distância entre as duas placas. Considere a água ( mu=1,0 centipoise) como fluido de escoamento, com V max =0,05 m / s e H=5 mm. Represente graficamente a tensão de cisalhamento na parede superior e calcule a sua magnitude.
Resp.: a) tauy x=0,04 N / m^2 ; b) Fx=0,012 N

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um escoamento de água entre duas placas paralelas. A velocidade do fluido varia de acordo com a posição entre as placas, e a gente precisa representar graficamente a tensão de cisalhamento na parede superior e calcular o valor dessa tensão. Para resolver, vamos usar conhecimentos de mecânica dos fluidos, especificamente sobre escoamento laminar entre placas paralelas e a relação entre velocidade e tensão de cisalhamento.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação da distribuição de velocidade para facilitar nossos cálculos. A equação dada é:
vxVmax = 1 - (2 yH)^2
Multiplicando ambos os lados por vx = Vmax (1 - (2 yH)^2) :

Passo 3

Para encontrar a tensão de cisalhamento ( tauyx = mu dvxdy ), usamos a relação:
Onde:
  • é a viscosidade do fluido.
  • é o gradiente de velocidade em relação a y.

Passo 4

Vamos calcular o gradiente de velocidade dvxdy = Vmax cdot ddy (1 - (2 yH)^2) = Vmax cdot (-2 cdot 4 yH^2) = -4 Vmax yH^2 . Derivando em relação a y:

Passo 5

Na parede superior, a posição dvxdy g|y = H2 = -4 Vmax cdot H2H^2 = -2 VmaxH é igual a , pois o sistema de coordenadas está centrado entre as placas. Substituindo na derivada:

Passo 6

Agora, substituímos os valores fornecidos:
  • dvxdy g|y = H2 = -2 times 0,050,005 = -20 , s^-1 centipoise = Pa·s
  • m/s
  • mm = m

Passo 7

Agora, calculamos a tensão de cisalhamento:
tauyx = mu dvxdy = 0,001 times (-20) = -0,02 , Pa
O sinal negativo indica a direção da tensão, mas como estamos interessados na magnitude:
|tauyx| = 0,02 , Pa = 0,02 , N/m^2

Passo 8

Para representar graficamente a tensão de cisalhamento na parede superior, sabemos que a tensão é constante ao longo da parede, então o gráfico será uma linha horizontal no valor de .

Resposta

a)
b)

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