Os componentes do vetor velocidade de um escoamento incompressível e que ocorre em regime permanente são definidos por:
Determine a forma do componente da velocidade na direção
, que satisfaça a equação da continuidade.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um escoamento incompressível e em regime permanente, ou seja, nada muda com o tempo. A velocidade desse escoamento tem componentes
,
e
nas direções
,
e
respectivamente. A gente conhece as expressões para
e
, e precisa encontrar
de tal forma que a equação da continuidade seja satisfeita. Vamos usar a matemática de cálculo vetorial para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para um escoamento incompressível em regime permanente, a equação da continuidade é dada por:
Isso significa que a soma das derivadas parciais das componentes da velocidade em cada direção deve ser igual a zero.
Passo 3
Vamos calcular cada uma dessas derivadas. Começando com
. Sabemos que:
Derivando
em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos para
. A expressão de
é:
Derivando
em relação a
:
Passo 5
Com essas duas derivadas, a equação da continuidade fica:
Simplificando:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar
tal que essa equação seja satisfeita. Vamos isolar
:
Passo 7
Para encontrar
, vamos integrar essa expressão em relação a
:
Aqui,
é uma função de integração que pode depender de
e
.
Passo 8
Como não temos mais informações sobre
, podemos considerar
como uma função arbitrária. Portanto, a forma geral de
que satisfaz a equação da continuidade é:
Resposta
A componente
da velocidade é dada por:
Onde
é uma função arbitrária de
e
.