Os componentes do vetor velocidade de um escoamento incompressível e que ocorre em regime permanente são definidos por:
u=x^2+y^2+z^2 v=x y+y z+z w=?
Determine a forma do componente da velocidade na direção z, w, que satisfaça a equação da continuidade.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um escoamento incompressível e em regime permanente, ou seja, nada muda com o tempo. A velocidade desse escoamento tem componentes , e nas direções , e respectivamente. A gente conhece as expressões para e , e precisa encontrar de tal forma que a equação da continuidade seja satisfeita. Vamos usar a matemática de cálculo vetorial para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um escoamento incompressível em regime permanente, a equação da continuidade é dada por:
partial upartial x + partial vpartial y + partial wpartial z = 0
Isso significa que a soma das derivadas parciais das componentes da velocidade em cada direção deve ser igual a zero.

Passo 3

Vamos calcular cada uma dessas derivadas. Começando com u = x^2 + y^2 + z^2 . Sabemos que:
partial upartial x = 2x
Derivando em relação a :

Passo 4

Agora, vamos para v = x y + y z + z . A expressão de partial vpartial y = x + z é:
Derivando em relação a :

Passo 5

Com essas duas derivadas, a equação da continuidade fica:
2x + (x + z) + partial wpartial z = 0
Simplificando:
3x + z + partial wpartial z = 0

Passo 6

Agora, precisamos encontrar partial wpartial z = -3x - z tal que essa equação seja satisfeita. Vamos isolar :

Passo 7

Para encontrar w = integral (-3x - z) , dz = -3x z - z^22 + C(x, y) , vamos integrar essa expressão em relação a :
Aqui, é uma função de integração que pode depender de e .

Passo 8

Como não temos mais informações sobre w = -3x z - z^22 + C(x, y) , podemos considerar como uma função arbitrária. Portanto, a forma geral de que satisfaz a equação da continuidade é:

Resposta

A componente w = -3x z - z^22 + C(x, y) da velocidade é dada por:
Onde é uma função arbitrária de e .

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