Para um escoamento no plano
, a componente
da velocidade é dada por
. Encontre uma possível componente
para escoamento em regime permanente e incompressível. Ela também é válida para escoamento incompressível em regime não permanente? Por quê? Quantas são as possíveis componentes
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre escoamento de fluidos no plano $ xy $. A gente sabe que a componente $ x $ da velocidade é dada por $ u = 3x^{2}y \cdot y^{3} $, que simplifica para $ u = 3x{2}y{4} $. Nosso objetivo é encontrar uma possível componente $ y $ da velocidade ($ v $) que torne o escoamento incompressível e em regime permanente. Além disso, vamos verificar se essa componente $ y $ também funciona para escoamentos incompressíveis em regime não permanente e descobrir quantas possíveis componentes $ y $ existem.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um escoamento incompressível e em regime permanente. Um escoamento incompressível tem a propriedade de que a densidade do fluido permanece constante. Para escoamentos no plano $ xy $, isso se traduz na equação de continuidade:
Como estamos considerando regime permanente, não há variação no tempo, ou seja, todas as derivadas temporais são zero.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de $ u $ em relação a $ x $:
Passo 4
Substituindo na equação de continuidade:
Isolando $ \frac{\partial v}{\partial y} $:
Passo 5
Agora, vamos integrar $ \frac{\partial v}{\partial y} $ em relação a $ y $ para encontrar $ v $:
Aqui, $ C(x) $ é uma função de integração que pode depender de $ x $.
Passo 6
Como estamos no regime permanente (sem variação no tempo), a função $ C(x) $ deve ser constante ou uma função que não afeta a incompressibilidade. Para simplificar, podemos considerar $ C(x) = 0 $, então:
Passo 7
Agora, precisamos verificar se essa componente $ y $ também é válida para escoamentos incompressíveis em regime não permanente. Em regime não permanente, a equação de continuidade inclui termos que dependem do tempo, o que pode alterar a forma de $ v $. Portanto, a solução encontrada para o regime permanente pode não ser válida nesse caso.
Passo 8
Por fim, quantas são as possíveis componentes $ y $ para esse escoamento? A resposta é que existem infinitas possibilidades, já que a função de integração $ C(x) $ pode ser qualquer função que satisfaça as condições do problema. No entanto, para o caso específico do regime permanente e sem considerar $ C(x) $, temos uma única expressão para $ v $.
Resposta
Uma possível componente $ y $ para o escoamento incompressível e em regime permanente é:
Essa componente $ y $ não é válida para escoamentos incompressíveis em regime não permanente porque a dependência temporal pode alterar a equação de continuidade. Além disso, existem infinitas possíveis componentes $ y $, já que podemos adicionar qualquer função de $ x $ à solução geral.