Para um escoamento no plano xy, a componente x da velocidade é dada por u=3 x^2 y cdot y^3. Encontre uma possível componente y para escoamento em regime permanente e incompressível. Ela também é válida para escoamento incompressível em regime não permanente? Por quê? Quantas são as possíveis componentes y ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre escoamento de fluidos no plano $ xy $. A gente sabe que a componente $ x $ da velocidade é dada por $ u = 3x^{2}y \cdot y^{3} $, que simplifica para $ u = 3x{2}y{4} $. Nosso objetivo é encontrar uma possível componente $ y $ da velocidade ($ v $) que torne o escoamento incompressível e em regime permanente. Além disso, vamos verificar se essa componente $ y $ também funciona para escoamentos incompressíveis em regime não permanente e descobrir quantas possíveis componentes $ y $ existem.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um escoamento incompressível e em regime permanente. Um escoamento incompressível tem a propriedade de que a densidade do fluido permanece constante. Para escoamentos no plano $ xy $, isso se traduz na equação de continuidade:
xy
Como estamos considerando regime permanente, não há variação no tempo, ou seja, todas as derivadas temporais são zero.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de $ u $ em relação a $ x $:
u

Passo 4

Substituindo na equação de continuidade:
6xy^4 + partial vpartial y = 0
Isolando $ \frac{\partial v}{\partial y} $:
partial vpartial y

Passo 5

Agora, vamos integrar $ \frac{\partial v}{\partial y} $ em relação a $ y $ para encontrar $ v $:
partial vpartial y
Aqui, $ C(x) $ é uma função de integração que pode depender de $ x $.

Passo 6

Como estamos no regime permanente (sem variação no tempo), a função $ C(x) $ deve ser constante ou uma função que não afeta a incompressibilidade. Para simplificar, podemos considerar $ C(x) = 0 $, então:
C(x)

Passo 7

Agora, precisamos verificar se essa componente $ y $ também é válida para escoamentos incompressíveis em regime não permanente. Em regime não permanente, a equação de continuidade inclui termos que dependem do tempo, o que pode alterar a forma de $ v $. Portanto, a solução encontrada para o regime permanente pode não ser válida nesse caso.

Passo 8

Por fim, quantas são as possíveis componentes $ y $ para esse escoamento? A resposta é que existem infinitas possibilidades, já que a função de integração $ C(x) $ pode ser qualquer função que satisfaça as condições do problema. No entanto, para o caso específico do regime permanente e sem considerar $ C(x) $, temos uma única expressão para $ v $.

Resposta

Uma possível componente $ y $ para o escoamento incompressível e em regime permanente é:
y
Essa componente $ y $ não é válida para escoamentos incompressíveis em regime não permanente porque a dependência temporal pode alterar a equação de continuidade. Além disso, existem infinitas possíveis componentes $ y $, já que podemos adicionar qualquer função de $ x $ à solução geral.

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