Água do mar,
, escoa através de uma bomba com uma vazão de
. A entrada da bomba tem um diâmetro de
. Na entrada, a pressão é de
de mercúrio. A saída da bomba, com um diâmetro de 0,152 m, está 1,8 m acima da entrada. A pressão na saída é 175 kPa . Se as temperaturas de entrada e saída forem iguais, qual será a potência que a bomba adiciona ao fluído?
Passo 1
Vamos lá! Você tem um exercício sobre fluxo de água do mar em uma bomba e quer descobrir qual a potência que a bomba adiciona ao fluido. Estamos trabalhando com Mecânica dos Fluidos, especificamente com conceitos de vazão, pressão e energia. Para resolver, vamos precisar usar fórmulas que relacionam a vazão da água, as pressões na entrada e saída da bomba, as alturas e os diâmetros dos canos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada dado representa:
- Densidade da água do mar (ρ): 1025 kg/m³
- Vazão (Q): 0,21 m³/s
- Diâmetro da entrada (D₁): 0,25 m
- Pressão na entrada (p₁): -0,15 m de mercúrio (vamos converter para Pascal depois)
- Diâmetro da saída (D₂): 0,152 m
- Altura da saída em relação à entrada (h): 1,8 m
- Pressão na saída (p₂): 175 kPa
Vamos precisar calcular a velocidade da água na entrada e na saída usando os diâmetros fornecidos.
Passo 3
A velocidade do fluido em qualquer seção pode ser encontrada pela fórmula da vazão:
Onde:
- $ Q $ é a vazão,
- $ A $ é a área da seção,
- $ v $ é a velocidade do fluido.
Primeiro, calculamos as áreas das seções de entrada e saída:
Vamos calcular $ A₁ $ e $ A₂ $:
Passo 4
Agora, vamos encontrar as velocidades $ v₁ $ e $ v₂ $:
Passo 5
Vamos converter a pressão na entrada de mercúrio para Pascal. Sabemos que:
Então,
Passo 6
Para encontrar a potência adicionada pela bomba, usamos a equação da potência hidráulica:
Onde:
- $ \Delta p = p₂ - p₁ $
- $ g $ é a aceleração da gravidade (≈9,81 m/s²)
Vamos calcular $ \Delta p $:
Passo 7
Agora, substituímos todos os valores na fórmula da potência:
Vamos calcular cada parte:
- Energia potencial:
- Diferença de velocidade ao quadrado:
- Somando tudo dentro do parêntese:
Passo 8
Finalmente, calculamos a potência:
Substituindo os valores calculados:
Resposta
A potência que a bomba adiciona ao fluido é aproximadamente 4,18 megawatts.