Água do mar, rho=1025 Kg / m^3, escoa através de uma bomba com uma vazão de 0,21 m^3 / s. A entrada da bomba tem um diâmetro de 0,25 m. Na entrada, a pressão é de -0,15 m de mercúrio. A saída da bomba, com um diâmetro de 0,152 m, está 1,8 m acima da entrada. A pressão na saída é 175 kPa . Se as temperaturas de entrada e saída forem iguais, qual será a potência que a bomba adiciona ao fluído?

Passo 1

Vamos lá! Você tem um exercício sobre fluxo de água do mar em uma bomba e quer descobrir qual a potência que a bomba adiciona ao fluido. Estamos trabalhando com Mecânica dos Fluidos, especificamente com conceitos de vazão, pressão e energia. Para resolver, vamos precisar usar fórmulas que relacionam a vazão da água, as pressões na entrada e saída da bomba, as alturas e os diâmetros dos canos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada dado representa:
  • Densidade da água do mar (ρ): 1025 kg/m³
  • Vazão (Q): 0,21 m³/s
  • Diâmetro da entrada (D₁): 0,25 m
  • Pressão na entrada (p₁): -0,15 m de mercúrio (vamos converter para Pascal depois)
  • Diâmetro da saída (D₂): 0,152 m
  • Altura da saída em relação à entrada (h): 1,8 m
  • Pressão na saída (p₂): 175 kPa
Vamos precisar calcular a velocidade da água na entrada e na saída usando os diâmetros fornecidos.

Passo 3

A velocidade do fluido em qualquer seção pode ser encontrada pela fórmula da vazão:
Q = A cdot v
Onde:
  • $ Q $ é a vazão,
  • $ A $ é a área da seção,
  • $ v $ é a velocidade do fluido.
Primeiro, calculamos as áreas das seções de entrada e saída:
Q
Vamos calcular $ A₁ $ e $ A₂ $:
A ²
v ²

Passo 4

Agora, vamos encontrar as velocidades $ v₁ $ e $ v₂ $:
v₁
v₂

Passo 5

Vamos converter a pressão na entrada de mercúrio para Pascal. Sabemos que:
1 , m Hg = 133,322 , kPa
Então,
p₁ = -0,15 times 133,322 approx -19,998 , kPa

Passo 6

Para encontrar a potência adicionada pela bomba, usamos a equação da potência hidráulica:
P = rho Q (g h + De²²
Onde:
  • $ \Delta p = p₂ - p₁ $
  • $ g $ é a aceleração da gravidade (≈9,81 m/s²)
Vamos calcular $ \Delta p $:
De

Passo 7

Agora, substituímos todos os valores na fórmula da potência:
P = 1025 times 0,21 times (9,81 times 1,8 + 194998 + (11,54)^2 - (4,28)^22)
Vamos calcular cada parte:
  1. Energia potencial:
9,81 times 1,8 approx 17,658 , m²/s² ²²
  1. Diferença de velocidade ao quadrado:
(11,54)^2 - (4,28)^22 = 133,0916 - 18,31842 approx 57,3866 , m²/s² ²²
  1. Somando tudo dentro do parêntese:
17,658 + 194998 + 57,3866 approx 195,073 , kPa m³/s² (mantendo as unidades consistentes) ³²

Passo 8

Finalmente, calculamos a potência:
P = 1025 times 0,21 times (9,81 times 1,8 + 194998 + 11,54^2 - 4,28^22)
Substituindo os valores calculados:
P = 1025 times 0,21 times (17,658 + 194998 + 57,3866) approx 1025 times 0,21 times 195073,0446 approx 4,18 times 10^6 , W

Resposta

A potência que a bomba adiciona ao fluido é aproximadamente 4,18 megawatts.

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