Escreva a equação da conservação da espécie A. Faça as simplificações cabíveis nesta equação, justificando cada uma delas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para escrever a equação de conservação da espécie A. Isso está relacionado à conservação de massa, que é um princípio fundamental na cinética química e na engenharia de reações. Para isso, vamos precisar entender como a quantidade de A muda ao longo do tempo, levando em conta as reações que a consomem ou produzem.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a quantidade de A presente no sistema. Chamamos isso de concentração de A, que representamos por . A conservação da espécie A significa que a soma das mudanças na concentração de A deve ser igual à taxa de geração de A menos a taxa de consumo de A.

Passo 3

Matematicamente, essa ideia é expressa pela equação de balanço de massa para a espécie A:
dCAdt = GA - RA
Aqui, representa a taxa de variação da concentração de A com o tempo, é a taxa de geração de A, e é a taxa de consumo de A.

Passo 4

Agora, vamos simplificar essa equação. Em muitos casos, especialmente em reatores fechados sem geração ou coleta de A fora das reações, a taxa de geração dCAdt = - RA é zero. Portanto, a equação fica:
Isso significa que a concentração de A diminui apenas devido ao seu consumo nas reações.

Passo 5

Além disso, se considerarmos que a taxa de consumo RA = k CA é proporcional à concentração de A, podemos expressá-la como:
Onde é a constante de taxa da reação.

Passo 6

Substituindo dCAdt = -k CA na equação de balanço, temos:
Essa é a equação diferencial de primeira ordem que descreve a conservação da espécie A, mostrando que a taxa de diminuição de A é proporcional à sua concentração atual.

Resposta

A equação de conservação da espécie A, simplificada, é:
dCAdt = -k CA

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