Escreva a equação da conservação da espécie A. Faça as simplificações cabíveis nesta equação, justificando cada uma delas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para escrever a equação de conservação da espécie A. Isso está relacionado à conservação de massa, que é um princípio fundamental na cinética química e na engenharia de reações. Para isso, vamos precisar entender como a quantidade de A muda ao longo do tempo, levando em conta as reações que a consomem ou produzem.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a quantidade de A presente no sistema. Chamamos isso de concentração de A, que representamos por
. A conservação da espécie A significa que a soma das mudanças na concentração de A deve ser igual à taxa de geração de A menos a taxa de consumo de A.
Passo 3
Matematicamente, essa ideia é expressa pela equação de balanço de massa para a espécie A:
Aqui,
representa a taxa de variação da concentração de A com o tempo,
é a taxa de geração de A, e
é a taxa de consumo de A.
Passo 4
Agora, vamos simplificar essa equação. Em muitos casos, especialmente em reatores fechados sem geração ou coleta de A fora das reações, a taxa de geração
é zero. Portanto, a equação fica:
Isso significa que a concentração de A diminui apenas devido ao seu consumo nas reações.
Passo 5
Além disso, se considerarmos que a taxa de consumo
é proporcional à concentração de A, podemos expressá-la como:
Onde
é a constante de taxa da reação.
Passo 6
Substituindo
na equação de balanço, temos:
Essa é a equação diferencial de primeira ordem que descreve a conservação da espécie A, mostrando que a taxa de diminuição de A é proporcional à sua concentração atual.
Resposta
A equação de conservação da espécie A, simplificada, é:
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