Escreva as equações de autovalores da mecânica quântica para: i) o momento angular orbital, ii) o momento angular de spin e iii) o oscilador harmônico simples. Explique o que elas significam, e dei um exemplo de como posso aplicar essas equações.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente escrever as equações de autovalores na mecânica quântica para três situações: i) o momento angular orbital, ii) o momento angular de spin e iii) o oscilador harmônico simples. Além disso, temos que explicar o que essas equações significam e dar um exemplo de como aplicá-las. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre operadores quânticos, autovalores e os conceitos de momento angular e oscilador harmônico.

Passo 2

Vamos começar com o momento angular orbital. Na mecânica quântica, o operador de momento angular orbital atua sobre as funções de onda dos elétrons em um átomo. A equação de autovalores para o momento angular orbital é dada por:
Aqui, é a função de onda, é a constante de Planck reduzida, e é o número quântico orbital.

Passo 3

Essa equação significa que quando aplicamos o operador de momento angular orbital ao estado quântico , obtemos o mesmo estado multiplicado por . Isso nos dá os possíveis valores que o momento angular orbital pode assumir. Por exemplo, em um átomo de hidrogênio, essa equação nos ajuda a determinar os níveis de energia dos elétrons.

Passo 4

Agora, vamos para o momento angular de spin. O spin é uma propriedade intrínseca das partículas, como elétrons, que não tem análogo clássico. A equação de autovalores para o momento angular de spin é:
Aqui, é a função de spin e é o número quântico de spin.

Passo 5

Essa equação indica que o operador de spin ao atuar sobre o estado de spin retorna o mesmo estado multiplicado por . No caso do elétron, o spin pode ser , o que leva a dois estados possíveis de spin: “para cima” e “para baixo”. Isso é fundamental para entender a estrutura eletrônica dos átomos e fenómenos como o magnetismo.

Passo 6

Por fim, vamos falar sobre o oscilador harmônico simples na mecânica quântica. O operador do oscilador harmônico é dado por:
Onde é a função de onda do oscilador, é o operador de momento, é a massa, é a frequência angular, e são os autovalores de energia.

Passo 7

Essa equação mostra que a energia do sistema oscilador harmônico está quantizada, ou seja, só pode assumir certos valores onde é um número inteiro não negativo. Isso é importante porque descreve sistemas como vibrações de moléculas e modos de energia em cristais.

Resposta

As equações de autovalores na mecânica quântica são:
i) Momento Angular Orbital:
ii) Momento Angular de Spin:
iii) Oscilador Harmônico Simples:
Essas equações descrevem como os operadores quânticos atuam sobre os estados físicos, determinando os valores possíveis de momento angular e energia para os sistemas considerados.

Exercícios relacionados

Quanto trabalho será necessário para comprimir do gás , inicialmente, sob pressão de , a volume de e na temperatura de 373 K para o volume de em um processo: (a) isotérmico;
Considere um sistema de 2 elétrons não interagentes em seus estados fundamentais em um poço unidimensional de potencial infinito. (a) Faça um gráfico esquemático das partículas ocupando os níveis energéticos, com seus respetivos números quânticos.
Inicialmente, 2, 3 mols de Gás Perfeito, diatômico, estiveram sob pressão de e a temperatura de . Ele foi aquecido até e expande se adiabaticamente até a pressão de . Finalmente, esta amostra de gás é resfriada isobaricamente e retorna ao estado inicial. Determine: (b) o trabalho em cada etapa deste ciclo;
(a) Escreva a configuração eletrônica do átomo de He.