Escreva uma expressão para a taxa de transferência de calor, por unidade de comprimento do cilindro, na superfície interna, Resp.: a) , b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para escrever uma expressão para a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento do cilindro na superfície interna, que chamaremos de . Vamos precisar usar conceitos de condução de calor em cilindros, mais especificamente a lei de Fourier para condução radial. Então, vamos lá passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento. Em termos simples, é a quantidade de calor que está passando por uma certa área do cilindro por segundo, dividida pelo comprimento desse cilindro. Para isso, usamos a Lei de Fourier para condução de calor, que nos diz que a taxa de fluxo de calor é proporcional ao gradiente de temperatura.
A fórmula geral da Lei de Fourier em coordenadas cilíndricas para fluxo radial é:
Aqui:
  • é a condutividade térmica do material,
  • é o gradiente de temperatura radial,
  • é o raio onde estamos calculando o fluxo,
  • é o comprimento do cilindro.

Passo 3

Agora, vamos focar na superfície interna do cilindro, onde . Queremos encontrar a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento, então vamos reorganizar a equação para isolar .
Primeiro, substituímos por :
Mas como queremos por unidade de comprimento, dividimos ambos os lados por :

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a expressão para a temperatura no interior do cilindro. Para isso, resolvemos a equação diferencial da condução de calor em estado estacionário (sem geração interna de calor):
Integrando uma vez em relação a :
Dividindo por :
Integrando novamente:

Passo 5

Determinar as constantes de integração e usando as condições de contorno. Suponha que na superfície interna , a temperatura é , e na superfície externa , a temperatura é .
Então, temos:
Para :
Para :
Subtraindo as duas equações para eliminar :
Então,
Substituindo na primeira equação:
Resolvendo para :

Passo 6

Agora, substituímos e na expressão geral de :
Simplificando:
Isso nos dá a distribuição de temperatura dentro do cilindro.

Passo 7

Vamos voltar à expressão da taxa de transferência de calor por unidade de comprimento . Lembrando que:
Usando a expressão de que encontramos, derivamos em relação a :
Avaliado em :
Substituindo de volta na expressão de :
Simplificando :
Como estamos interessados na magnitude da taxa de transferência de calor, podemos desconsiderar o sinal negativo:

Resposta

A expressão para a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento na superfície interna do cilindro é:

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