Escreva uma expressão para a taxa de transferência de calor, por unidade de comprimento do cilindro, na superfície interna, Resp.: a) , b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para escrever uma expressão para a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento do cilindro na superfície interna, que chamaremos de . Vamos precisar usar conceitos de condução de calor em cilindros, mais especificamente a lei de Fourier para condução radial. Então, vamos lá passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento. Em termos simples, é a quantidade de calor que está passando por uma certa área do cilindro por segundo, dividida pelo comprimento desse cilindro. Para isso, usamos a Lei de Fourier para condução de calor, que nos diz que a taxa de fluxo de calor é proporcional ao gradiente de temperatura.
A fórmula geral da Lei de Fourier em coordenadas cilíndricas para fluxo radial é:
Aqui:
é a condutividade térmica do material,
é o gradiente de temperatura radial,
é o raio onde estamos calculando o fluxo,
é o comprimento do cilindro.
Passo 3
Agora, vamos focar na superfície interna do cilindro, onde . Queremos encontrar a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento, então vamos reorganizar a equação para isolar .
Primeiro, substituímos por :
Mas como queremos por unidade de comprimento, dividimos ambos os lados por :
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a expressão para a temperatura 1r ddr( r dTdr ) = 0 no interior do cilindro. Para isso, resolvemos a equação diferencial da condução de calor em estado estacionário (sem geração interna de calor):
r dTdr = C1
Integrando uma vez em relação a dTdr = C1r :
T(r) = C1 ln(r) + C2
Dividindo por :
Integrando novamente:
Passo 5
Determinar as constantes de integração Ti = C1 ln(ri) + C2 e Te = C1 ln(re) + C2 usando as condições de contorno. Suponha que na superfície interna Te - Ti = C1 ln(reri) , a temperatura é C1 = Te - Tiln(reri) , e na superfície externa Ti = (Te - Tiln(reri)) ln(ri) + C2 , a temperatura é C2 = Ti - Te - Tiln(reri) ln(ri) .
Então, temos:
Para :
Para :
Subtraindo as duas equações para eliminar :
Então,
Substituindo na primeira equação:
Resolvendo para :
Passo 6
Agora, substituímos T(r) = Te - Tiln(reri) ln(r) + Ti - Te - Tiln(reri) ln(ri) e T(r) = Te - Tiln(reri) ln(rri) + Ti na expressão geral de :
Simplificando:
Isso nos dá a distribuição de temperatura dentro do cilindro.
Passo 7
Vamos voltar à expressão da taxa de transferência de calor por unidade de comprimento qr = -k cdot dTdrg|r = ri cdot 2pi ri . Lembrando que:
dTdr = Te - Tiln(reri) cdot 1r
Usando a expressão de dTdrg|r = ri = Te - Tiln(reri) cdot 1ri que encontramos, derivamos em relação a qr = -k cdot Te - Tiln(reri) cdot 1ri cdot 2pi ri :
qr = -k cdot Te - Tiln(reri) cdot 2pi
Avaliado em qr = 2pi k (Ti - Te)ln(reri) :
Substituindo de volta na expressão de :
Simplificando :
Como estamos interessados na magnitude da taxa de transferência de calor, podemos desconsiderar o sinal negativo:
Resposta
A expressão para a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento na superfície interna do cilindro é: