Uma grande placa de material com 40 mm de espessura contém hidrogênio dissolvido com uma concentração uniforme de . A placa é exposta a uma corrente de fluido que faz com que a concentração do hidrogênio dissolvido seja reduzida abruptamente a zero em ambas as superfícies da placa. Essa condição na superfície é mantida constante a partir desse instante. Se a difusividade mássica do hidrogênio é de , quanto tempo é necessário para que a concentração do hidrogênio dissolvido no centro da placa atinja um valor de 1,2 ?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo. Temos uma placa de material com 40 mm de espessura que contém hidrogênio dissolvido com uma concentração inicial de . A placa é exposta a um fluido que reduz a concentração de hidrogênio para zero nas duas superfícies. Queremos descobrir quanto tempo leva para que a concentração no centro da placa caia para . Para resolver isso, vamos usar conceitos de difusão de massa, especificamente a solução de difusão em uma placa plana. Vamos precisar das fórmulas de difusão e entender como a concentração varia com o tempo e a posição.
Passo 2
Primeiro, vamos converter todas as unidades para que fiquem consistentes. A espessura da placa é 40 mm, ou seja, . A concentração inicial é dada em kmol/m³, e queremos a concentração final em kg/m³, então precisamos converter:
Sabemos que para o hidrogênio ():
Massa molar () = 2 g/mol = 0,002 kg/mol
Portanto,
Assim, a concentração inicial:
Passo 3
Agora, vamos considerar que a placa tem uma espessura total de , onde é a metade da espessura:
Usaremos a solução de difusão para uma placa plana com condições de superfície de concentração zero. A concentração no centro da placa () em função do tempo () é dada por:
Onde:
é a concentração inicial ()
é o coeficiente de difusividade mássica ()
é metade da espessura da placa ()
Passo 4
Queremos encontrar o tempo para que a concentração no centro seja . Vamos substituir os valores na equação:
Primeiro, simplificamos:
Passo 5
Agora, isolamos o termo exponencial:
Aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
Passo 6
Resolvendo para :
Calculando os valores:
Resposta
O tempo necessário para que a concentração de hidrogênio no centro da placa atinja é aproximadamente 333 segundos.