Uma grande placa de material com 40 mm de espessura contém hidrogênio
dissolvido com uma concentração uniforme de
. A placa é exposta a uma corrente de fluido que faz com que a concentração do hidrogênio dissolvido seja reduzida abruptamente a zero em ambas as superfícies da placa. Essa condição na superfície é mantida constante a partir desse instante. Se a difusividade mássica do hidrogênio é de
, quanto tempo é necessário para que a concentração do hidrogênio dissolvido no centro da placa atinja um valor de 1,2
?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo. Temos uma placa de material com 40 mm de espessura que contém hidrogênio dissolvido com uma concentração inicial de
. A placa é exposta a um fluido que reduz a concentração de hidrogênio para zero nas duas superfícies. Queremos descobrir quanto tempo leva para que a concentração no centro da placa caia para
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de difusão de massa, especificamente a solução de difusão em uma placa plana. Vamos precisar das fórmulas de difusão e entender como a concentração varia com o tempo e a posição.
Passo 2
Primeiro, vamos converter todas as unidades para que fiquem consistentes. A espessura da placa é 40 mm, ou seja,
. A concentração inicial é dada em kmol/m³, e queremos a concentração final em kg/m³, então precisamos converter:
Sabemos que para o hidrogênio (
):
- Massa molar (
) = 2 g/mol = 0,002 kg/mol - Portanto,
Assim, a concentração inicial:
Passo 3
Agora, vamos considerar que a placa tem uma espessura total de
, onde
é a metade da espessura:
Usaremos a solução de difusão para uma placa plana com condições de superfície de concentração zero. A concentração no centro da placa (
) em função do tempo (
) é dada por:
Onde:
-
é a concentração inicial ( ) -
é o coeficiente de difusividade mássica ( ) -
é metade da espessura da placa ( )
Passo 4
Queremos encontrar o tempo
para que a concentração no centro seja
. Vamos substituir os valores na equação:
Primeiro, simplificamos:
Passo 5
Agora, isolamos o termo exponencial:
Aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
Passo 6
Resolvendo para
:
Calculando os valores:
Resposta
O tempo necessário para que a concentração de hidrogênio no centro da placa atinja
é aproximadamente 333 segundos.