Uma grande placa de material com 40 mm de espessura contém hidrogênio (H2) dissolvido com uma concentração uniforme de 3 kmol / m^3. A placa é exposta a uma corrente de fluido que faz com que a concentração do hidrogênio dissolvido seja reduzida abruptamente a zero em ambas as superfícies da placa. Essa condição na superfície é mantida constante a partir desse instante. Se a difusividade mássica do hidrogênio é de 9 times 10^-7 m^2 / s, quanto tempo é necessário para que a concentração do hidrogênio dissolvido no centro da placa atinja um valor de 1,2 kg / m^3 ?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo. Temos uma placa de material com 40 mm de espessura que contém hidrogênio dissolvido com uma concentração inicial de . A placa é exposta a um fluido que reduz a concentração de hidrogênio para zero nas duas superfícies. Queremos descobrir quanto tempo leva para que a concentração no centro da placa caia para . Para resolver isso, vamos usar conceitos de difusão de massa, especificamente a solução de difusão em uma placa plana. Vamos precisar das fórmulas de difusão e entender como a concentração varia com o tempo e a posição.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para que fiquem consistentes. A espessura da placa é 40 mm, ou seja, 3 , kmol/m^3 times 2 , kg/kmol = 6 , kg/m^3 . A concentração inicial é dada em kmol/m³, e queremos a concentração final em kg/m³, então precisamos converter:
Sabemos que para o hidrogênio ( ):
  • Massa molar ( ) = 2 g/mol = 0,002 kg/mol
  • Portanto,
Assim, a concentração inicial:

Passo 3

Agora, vamos considerar que a placa tem uma espessura total de 2L = 0,04 , m Rightarrow L = 0,02 , m , onde C(0, t) = C0 ( 4pi ) e^- D pi^2 t4L^2 é a metade da espessura:
Usaremos a solução de difusão para uma placa plana com condições de superfície de concentração zero. A concentração no centro da placa ( ) em função do tempo ( ) é dada por:
Onde:
  • é a concentração inicial ( )
  • é o coeficiente de difusividade mássica ( )
  • é metade da espessura da placa ( )

Passo 4

Queremos encontrar o tempo 1,2 = 6 ( 4pi ) e^- 9 times 10^-7 pi^2 t4 times (0,02)^2 para que a concentração no centro seja 1,26 = 4pi e^- 9 times 10^-7 pi^2 t4 times 0,0004 . Vamos substituir os valores na equação:
0,2 = 4pi e^- 9 times 10^-7 pi^2 t0,0016
Primeiro, simplificamos:

Passo 5

Agora, isolamos o termo exponencial:
e^- 9 times 10^-7 pi^2 t0,0016 = 0,2 pi4
e^- 9 times 10^-7 pi^2 t0,0016 = pi20
Aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
- 9 times 10^-7 pi^2 t0,0016 = ln( pi20 )

Passo 6

Resolvendo para t = - 0,00169 times 10^-7 pi^2 ln( pi20 ) :
ln( pi20 ) approx ln(0,157) approx -1,85
Calculando os valores:
t = - 0,00169 times 10^-7 times 9,8696 times (-1,85)
t approx 0,00168,8826 times 10^-6 times 1,85
t approx 180 times 1,85 approx 333 , segundos

Resposta

O tempo necessário para que a concentração de hidrogênio no centro da placa atinja é aproximadamente 333 segundos.

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