Uma grande placa de material com 40 mm de espessura contém hidrogênio dissolvido com uma concentração uniforme de . A placa é exposta a uma corrente de fluido que faz com que a concentração do hidrogênio dissolvido seja reduzida abruptamente a zero em ambas as superfícies da placa. Essa condição na superfície é mantida constante a partir desse instante. Se a difusividade mássica do hidrogênio é de , quanto tempo é necessário para que a concentração do hidrogênio dissolvido no centro da placa atinja um valor de 1,2 ?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo. Temos uma placa de material com 40 mm de espessura que contém hidrogênio dissolvido com uma concentração inicial de . A placa é exposta a um fluido que reduz a concentração de hidrogênio para zero nas duas superfícies. Queremos descobrir quanto tempo leva para que a concentração no centro da placa caia para . Para resolver isso, vamos usar conceitos de difusão de massa, especificamente a solução de difusão em uma placa plana. Vamos precisar das fórmulas de difusão e entender como a concentração varia com o tempo e a posição.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para que fiquem consistentes. A espessura da placa é 40 mm, ou seja, . A concentração inicial é dada em kmol/m³, e queremos a concentração final em kg/m³, então precisamos converter:
Sabemos que para o hidrogênio ( ):
  • Massa molar ( ) = 2 g/mol = 0,002 kg/mol
  • Portanto,
Assim, a concentração inicial:

Passo 3

Agora, vamos considerar que a placa tem uma espessura total de , onde é a metade da espessura:
Usaremos a solução de difusão para uma placa plana com condições de superfície de concentração zero. A concentração no centro da placa ( ) em função do tempo ( ) é dada por:
Onde:
  • é a concentração inicial ( )
  • é o coeficiente de difusividade mássica ( )
  • é metade da espessura da placa ( )

Passo 4

Queremos encontrar o tempo para que a concentração no centro seja . Vamos substituir os valores na equação:
Primeiro, simplificamos:

Passo 5

Agora, isolamos o termo exponencial:
Aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:

Passo 6

Resolvendo para :
Calculando os valores:

Resposta

O tempo necessário para que a concentração de hidrogênio no centro da placa atinja é aproximadamente 333 segundos.

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