Escreva o potencial do chamado poço quadrado infinito. A seguir, escreva a Equação de Schroedinger independente do tempo para esse potencial e discuta como encontrar as funções de onda soluções do problema. Explique como aparece o número quântico n. Qual a expressão para a energia dos estados? A energia depende de n?
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Estamos falando sobre o poço quadrado infinito, que é um conceito da mecânica quântica. Vamos precisar entender como definir o potencial desse poço, escrever a Equação de Schrödinger para ele, encontrar as funções de onda que são soluções dessa equação, introduzir o número quântico $ n $ e descobrir como a energia dos estados está relacionada a $ n $.
Passo 2
Vamos começar definindo o potencial do poço quadrado infinito. Imagine uma região onde uma partícula está confinada entre duas barreiras infinitamente altas. Matemáticamente, o potencial $ V(x) $ é dado por:
Isso significa que a partícula só pode existir entre $ x = 0 $ e $ x = a $, pois fora dessa região a energia é infinita e a partícula não pode estar lá.
Passo 3
Agora, vamos escrever a Equação de Schrödinger independente do tempo para esse potencial. A equação geral é:
onde $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida, $ m $ é a massa da partícula, $ \psi(x) $ é a função de onda, e $ E $ é a energia da partícula.
Dentro do poço, onde $ V(x) = 0 $, a equação simplifica para:
Passo 4
Para encontrar as funções de onda que solucionam essa equação, resolvemos a equação diferencial diferencial acima com as condições de contorno $ \psi(0) = 0 $ e $ \psi(a) = 0 $ (porque a função de onda deve ser nula nas barreiras infinitas). A solução geral é uma combinação de funções seno e cosseno, mas devido às condições de contorno, somente as funções seno fecham com $ \psi(0) = 0 $. Assim, as soluções são:
onde $ n = 1, 2, 3, \dots $ é o número quântico que surge naturalmente dessa condição de contorno.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a expressão para a energia dos estados. Substituindo a solução $ \psi_n(x) $ na equação de Schrödinger, obtemos:
Isso mostra que a energia depende do número quântico $ n $. Quanto maior o $ n $, maior a energia do estado.
Resposta
O potencial do poço quadrado infinito é dado por:
A Equação de Schrödinger independente do tempo para esse potencial é:
Dentro do poço, as funções de onda soluções são:
onde $ n = 1, 2, 3, \dots $ é o número quântico que surge das condições de contorno. A energia dos estados é:
e de fato, a energia depende do número quântico $ n $.