Repita o exercício anterior para a seguinte função de onda:
psi(x)=cc N(1-x^2) & em -1 <= x <= 1 0 & caso contrário á

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de onda dada por:
psi(x)=cc N(1-x^2) & em -1 <= x <= 1 0 & caso contrário á
O conteúdo que vamos abordar aqui é a normalização de uma função de onda, que é fundamental na mecânica quântica para garantir que a probabilidade total de encontrar uma partícula em todo o espaço seja igual a 1. Para normalizar, precisamos encontrar o valor de $ N $ que satisfaz essa condição.

Passo 2

A normalização exige que a integral do módulo ao quadrado da função de onda em todo o espaço seja igual a 1. Matemáticamente, isso é expresso como:
integral-infty^infty |psi(x)|^2 dx = 1
No nosso caso, a função de onda é diferente de zero apenas no intervalo -1 <= x <= 1, então a integral se reduz a esse intervalo:
integral-1^1 |N(1 - x^2)|^2 dx = 1

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dentro da integral. Como $ N(1 - x^2) $ é real, o módulo ao quadrado é simplesmente o quadrado da função:
N(1 - x^2)
Podemos fatorar $ N^2 $ fora da integral:
integral-1^1 N^2 (1 - x^2)^2 dx = 1

Passo 4

Agora, precisamos calcular a integral $ \int_{-1}^{1} (1 - x2)2 dx $. Vamos expandir o termo ao quadrado:
integral-1^1 (1 - x^2)^2 dx
Assim, a integral fica:
(1 - x^2)^2 = 1 - 2x^2 + x^4

Passo 5

Vamos integrar termo a termo:
  1. $ \int_{-1}^{1} 1 , dx = [x]_{-1}^{1} = 1 - (-1) = 2 $
  2. $ \int_{-1}^{1} -2x^2 , dx = -2 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{1} = -2 \left( \frac{1}{3} - \left(-\frac{1}{3}\right) \right) = -2 \left( \frac{2}{3} \right) = -\frac{4}{3} $
  3. $ \int_{-1}^{1} x^4 , dx = \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{-1}^{1} = \frac{1}{5} - \left(-\frac{1}{5}\right) = \frac{2}{5} $

Passo 6

Somando os resultados das integrais:
2 - 43 + 25 = 3015 - 2015 + 615 = 1615
Então, a integral original é $ \frac{16}{15} $.

Passo 7

Voltando à equação da normalização:
N^2 times 1615 = 1
Para encontrar $ N^2 $, isolamos:
N^2

Passo 8

Finalmente, tiramos a raiz quadrada para encontrar $ N $:
N

Resposta

O valor de $ N $ que normaliza a função de onda é:
N

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