Repita o exercício anterior para a seguinte função de onda:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de onda dada por:
O conteúdo que vamos abordar aqui é a normalização de uma função de onda, que é fundamental na mecânica quântica para garantir que a probabilidade total de encontrar uma partícula em todo o espaço seja igual a 1. Para normalizar, precisamos encontrar o valor de $ N $ que satisfaz essa condição.
Passo 2
A normalização exige que a integral do módulo ao quadrado da função de onda em todo o espaço seja igual a 1. Matemáticamente, isso é expresso como:
No nosso caso, a função de onda é diferente de zero apenas no intervalo
, então a integral se reduz a esse intervalo:
Passo 3
Vamos simplificar a expressão dentro da integral. Como $ N(1 - x^2) $ é real, o módulo ao quadrado é simplesmente o quadrado da função:
Podemos fatorar $ N^2 $ fora da integral:
Passo 4
Agora, precisamos calcular a integral $ \int_{-1}^{1} (1 - x2)2 dx $. Vamos expandir o termo ao quadrado:
Assim, a integral fica:
Passo 5
Vamos integrar termo a termo:
- $ \int_{-1}^{1} 1 , dx = [x]_{-1}^{1} = 1 - (-1) = 2 $
- $ \int_{-1}^{1} -2x^2 , dx = -2 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{1} = -2 \left( \frac{1}{3} - \left(-\frac{1}{3}\right) \right) = -2 \left( \frac{2}{3} \right) = -\frac{4}{3} $
- $ \int_{-1}^{1} x^4 , dx = \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{-1}^{1} = \frac{1}{5} - \left(-\frac{1}{5}\right) = \frac{2}{5} $
Passo 6
Somando os resultados das integrais:
Então, a integral original é $ \frac{16}{15} $.
Passo 7
Voltando à equação da normalização:
Para encontrar $ N^2 $, isolamos:
Passo 8
Finalmente, tiramos a raiz quadrada para encontrar $ N $:
Resposta
O valor de $ N $ que normaliza a função de onda é: