Escreva o sistema abaixo como um conjunto de equações escalares. .
Resp. lx^prime=x+z+e^t y^prime=-x+2 y+5 z+t z^prime=5 y+z
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. A gente tem uma equação que está em forma de matrizes e vetores, que faz parte da matéria de Equações Diferenciais Lineares com Múltiplas Variáveis. O objetivo aqui é transformar essa representação matricial em um conjunto de equações escalares, ou seja, equações separadas para cada variável envolvida. Para isso, vamos precisar entender como multiplicar matrizes por vetores e como isso se traduz em equações para cada componente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o vetor X = x y z e suas componentes. Suponha que:
Aqui, representa a derivada de em relação a , ou seja, as derivadas de , e .
Passo 4
Vamos multiplicar a matriz pelos componentes de 1 & 0 & 1 -1 & 2 & 5 0 & 5 & 1 x y z = 1 cdot x + 0 cdot y + 1 cdot z -1 cdot x + 2 cdot y + 5 cdot z 0 cdot x + 5 cdot y + 1 cdot z = x + z -x + 2y + 5z 5y + z :
Passo 5
Agora, vamos somar os outros termos do lado direito da equação:
e^t 1 0 0 + t 0 1 0 = e^t 0 0 + 0 t 0 = e^t t 0
Passo 6
Agora, juntando tudo, temos:
X^prime = x + z -x + 2y + 5z 5y + z + e^t t 0 = x + z + e^t -x + 2y + 5z + t 5y + z
Passo 7
Isso significa que as derivadas das componentes de x' = x + z + e^t y' = -x + 2y + 5z + t z' = 5y + z são:
Resposta
l x^prime=x+z+e^t y^prime=-x+2 y+5 z+t z^prime=5 y+z