Em cada um dos itens abaixo, calcule a integral usando coordenadas esféricas.
(a)
, onde
é o sólido delimitado por duas esferas concêntricas de raios
e
, onde
, centradas na origem;
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo usando coordenadas esféricas. A questão pede para calcular a integral tripla
, onde
é o sólido entre duas esferas concêntricas com raios
e
(sendo
) e centradas na origem. Vamos precisar entender como mudar para coordenadas esféricas e configurar os limites de integração corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, um ponto no espaço é descrito por três valores:
(a distância do ponto à origem),
(o ângulo polar, ou seja, o ângulo com o eixo z) e
(o ângulo azimutal, que é o ângulo no plano xy a partir do eixo x).
A relação entre coordenadas cartesianas
e esféricas
é dada por:
Além disso, o elemento de volume
em coordenadas esféricas é:
Passo 3
Agora, vamos identificar os limites de integração. Como
está entre duas esferas com raios
e
, o valor de
vai de
a
.
Para
, que varia de 0 a
para cobrir todo o ângulo vertical.
E para
, que varia de 0 a
para cobrir todo o círculo no plano horizontal.
Passo 4
Vamos montar a integral tripla em coordenadas esféricas. Substituindo o elemento de volume e os limites que definimos, a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 6
Agora, integramos em relação a
:
Passo 7
Por fim, integramos em relação a
:
Resposta
Multiplicando todos os resultados das integrais, temos:
Então, a integral vale
.