Em cada um dos itens abaixo, calcule a integral usando coordenadas esféricas.
(a) integral triplaS d x d y d z, onde S é o sólido delimitado por duas esferas concêntricas de raios a e b, onde 0, centradas na origem;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo usando coordenadas esféricas. A questão pede para calcular a integral tripla , onde é o sólido entre duas esferas concêntricas com raios e (sendo ) e centradas na origem. Vamos precisar entender como mudar para coordenadas esféricas e configurar os limites de integração corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, um ponto no espaço é descrito por três valores: x = rho sintheta cosphi (a distância do ponto à origem), y = rho sintheta sinphi (o ângulo polar, ou seja, o ângulo com o eixo z) e z = rho costheta (o ângulo azimutal, que é o ângulo no plano xy a partir do eixo x).
A relação entre coordenadas cartesianas dV = rho^2 sintheta, drho, dtheta, dphi e esféricas é dada por:
Além disso, o elemento de volume em coordenadas esféricas é:

Passo 3

Agora, vamos identificar os limites de integração. Como está entre duas esferas com raios e , o valor de vai de a .
Para , que varia de 0 a para cobrir todo o ângulo vertical.
E para , que varia de 0 a para cobrir todo o círculo no plano horizontal.

Passo 4

Vamos montar a integral tripla em coordenadas esféricas. Substituindo o elemento de volume e os limites que definimos, a integral fica:
integral triplaS dx, dy, dz = integral0^2pi integral0^pi integrala^b rho^2 sintheta, drho, dtheta, dphi

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a integrala^b rho^2, drho = [ rho^33 ]a^b = b^3 - a^33 :

Passo 6

Agora, integramos em relação a integral0^pi sintheta, dtheta = [ -costheta ]0^pi = -cospi + cos0 = 2 :

Passo 7

Por fim, integramos em relação a integral0^2pi dphi = 2pi :

Resposta

Multiplicando todos os resultados das integrais, temos:
integral triplaS dx, dy, dz = b^3 - a^33 times 2 times 2pi = 4pi (b^3 - a^3)3
Então, a integral vale .

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